¿Cuál es la serie de Fourier de [matemáticas] f (x) = \ pi – x [/ matemáticas]?

Primero, la función es par, por lo que solo necesitamos el término constante y los términos coseno.
Segundo, tiene un período [matemático] 2 \ pi [/ matemático], entonces [matemático] a_n = 1 / {\ pi} \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {0} (\ pi + x) cos (nx ) \ dx + [/ math] [math] 1 / {\ pi} \ int \ limits_ {0} ^ {- \ pi} (\ pi -x) cos (nx) \ dx [/ math]. El término constante será [matemáticas] a_0 / 2 = 1 / (2 \ pi) \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ dx [/ matemáticas], donde la función es básicamente [ matemática] – | x | + \ pi [/ matemática] en el intervalo [matemática] [- \ pi, \ pi] [/ matemática].
La evaluación de las integrales es bastante fácil, y debería obtener [math] a_n = 2 / \ pi \ cdot (1 – (- 1) ^ n) / n ^ 2 [/ math] y con esto los primeros miembros obtendrán ser [matemáticas] \ pi / 2 + 4 \ cdot \ pi \ cdot cos (x) + [/ matemáticas] [matemáticas] (4/9) \ pi \ cdot cos (3x) + (4/25) \ pi \ cdot cos (5x) [/ math].