A menudo es difícil entender un objeto matemático de una vez. Lo que le gustaría poder hacer es partir el objeto en pedazos y estudiarlos, luego juntarlos para comprender el objeto. Pero a veces no puedes hacer esto; tal vez el objeto no se rompa en absoluto. A menudo, lo mejor es filtrar el objeto y luego tratar de comprender las partes de la filtración y cómo se relacionan entre sí. Aquí hay dos ejemplos.
Primero, si [math] \ mathfrak {g} [/ math] es un álgebra de Lie, entonces su álgebra envolvente universal [math] U (\ mathfrak {g}) [/ math] se filtra naturalmente por los poderes de [math] \ mathfrak {g} [/ math]. Dada una filtración en un anillo, una forma natural de entender cómo se relacionan las piezas entre sí es tratar de entender el anillo calificado asociado, y en este caso el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt nos dice que el grado asociado de [matemáticas] U (\ mathfrak {g}) [/ math] es el álgebra simétrica [math] S (\ mathfrak {g}) [/ math]. Es muy útil saber sobre [math] U (\ mathfrak {g}) [/ math], ya que significa que para muchos propósitos podemos tratar [math] U (\ mathfrak {g}) [/ math] como si fuera [math] S (\ mathfrak {g}) [/ math].
En segundo lugar, si [math] X [/ math] es un complejo CW, entonces naturalmente viene equipado con una filtración llamada filtración esquelética, donde la pieza [math] i ^ {th} [/ math] de la filtración es la parte del complejo CW hecho de celdas de dimensión [matemáticas] i [/ matemáticas] o menos. Podría decirse que el punto de definir los complejos de CW es poder tener esta filtración; La técnica de prueba más importante para trabajar con complejos CW es la inducción en la filtración esquelética. La filtración esquelética también es responsable de la existencia de homología celular. En términos más generales, las filtraciones en espacios son una fuente natural de secuencias espectrales (que tratan sobre la relación entre las filtraciones y sus grados asociados), de los cuales la homología celular es en realidad un caso especial degenerado.
- Un grupo consta de 6 mujeres y 8 hombres. ¿De cuántas maneras hay para formar un comité de un tamaño de 5, de modo que un hombre y una mujer no puedan estar en el mismo comité?
- ¿Cómo se puede asumir este paso (mientras se prueba AM> = GM por inducción de cauchy?
- Cómo cambiar mi mentalidad
- ¿Cuáles son algunos libros de lectura obligatoria para los aspirantes a matemáticos?
- ¿Existe una función continua tal que la integración de 1 a infinito converja pero la función no?