Digamos que el dígito no es cero. Tenga en cuenta que hay [math] n [/ math] dígitos, cada uno con [math] b [/ math] opciones posibles, por lo que hay números totales [math] b ^ n [/ math]. Sobre todos los números [matemáticos] b ^ n [/ matemáticos], hay números [matemáticos] b ^ {n-1} [/ matemáticos] que tienen el dígito dado en un determinado espacio. Hay [math] n [/ math] tales espacios, para un total de [math] nb ^ {n-1} [/ math] ocurrencias.
Ahora, consideremos cero. Hay [matemáticas] b ^ {n-1} – 1 [/ matemáticas] números distintos de cero con el último dígito siendo cero, ya que los dígitos [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] restantes no pueden ser todos ceros. Hay [math] b ^ {n-1} – b [/ math] números distintos de cero con el penúltimo dígito siendo cero. En general, hay números [matemáticos] b ^ {n-1} – b ^ k [/ matemáticos] con el dígito [matemático] k [/ matemático] desde la derecha siendo cero. Esto nos da [math] nb ^ {n-1} – \ dfrac {b ^ n-1} {b-1} [/ math] números distintos de cero, pero necesitamos agregar uno debido a cero. Por lo tanto, la cuenta es [matemáticas] nb ^ {n-1} – \ dfrac {b ^ n-1} {b-1} + 1 = nb ^ {n-1} – \ dfrac {b ^ nb} {b -1} [/ matemáticas]
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