Los elementos de un grupo representan (en cierto sentido) cambios de coordenadas de algún objeto.
Por ejemplo, considere la curva
[matemáticas] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 5 = (x ^ 4 – 6 x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 4) ^ 2 [/ matemáticas]
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lo cual aparentemente es lo suficientemente complicado como para que, si le pide a WolframAlpha (o incluso a Mathematica) que lo grafique, fallará horriblemente.
Dicho esto, simplemente examinando la forma de la ecuación, podemos ver que es invariable bajo ciertos cambios de coordenadas. Por ejemplo, si intercambiamos x e y , la ecuación permanece igual. Además, podemos reemplazar x con -x , y / o podemos reemplazar y con -y .
Todas estas son simetrías de reflexión, pero generan el grupo diédrico [matemático] D_8 [/ matemático] en su acción estándar en el plano, lo que significa que la curva también tiene simetrías rotacionales de 90 grados. De hecho, incluso tiene simetrías rotacionales de 45 grados, aunque eso requiere un poco más de esfuerzo para verlo, al menos a menos que reconozca que la ecuación anterior puede reescribirse como
[matemáticas] r ^ 2 = \ cos (4 \ theta) ^ 2 [/ matemáticas]
La mayoría de los ejemplos que son realmente útiles requerirían una configuración más complicada que sería más difícil de explicar. Por ejemplo, tal vez en lugar de muchas simetrías, tendría familias continuas de simetrías y necesitaría saber cómo interactuaron.
En la imagen : la curva (azul), junto con su cono tangente en el origen (naranja).
