Trate una permutación como una función [math] \ sigma: S \ to S [/ math]. Por ejemplo, para [matemática] S = \ {1,2,3,4,5 \} [/ matemática] tome
[matemática] \ sigma (1) = 4, \ sigma (2) = 5, \ sigma (3) = 2, [/ matemática] [matemática] \ sigma (4) = 1, \ sigma (5) = 3 [ /matemáticas]
Esta permutación [matemática] \ sigma [/ matemática] intercambia 1 y 4, y envía 2 a 5, 5 a 3 y 3 a 2. Los dos elementos 1 y 4 están en un ciclo 2, mientras que los tres elementos 2, 5 y 3 están en un ciclo 3. En la notación de ciclo, puede escribir [math] \ sigma = (14) (253). [/ Math]
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Por lo tanto, un ciclo en una permutación [matemática] \ sigma [/ matemática] es una lista de elementos [matemática] e_1, e_2, \ ldots, e_k [/ matemática] tal que
[matemática] \ sigma (e_1) = e_2, \ sigma (e_2) = e_3, \ ldots, [/ math] [matemática] \ sigma (e_ {k-1}) = e_k, \ sigma (e_k) = e_1 [ /matemáticas]
La duración de dicho ciclo es k.
Tenga en cuenta que un punto fijo de una permutación, es decir, un elemento [math] e [/ math] tal que [math] \ sigma (e) = e, [/ math] forma un ciclo [math] (e) [/ matemática] por sí mismo de longitud 1. Cuando se usa la notación de ciclo, los ciclos de longitud 1 generalmente se omiten.
