¿Qué es una explicación intuitiva de un groupoid?

Un groupoid es una colección de lugares (“objetos”) junto con una colección de formas de llegar de un lugar a otro (“morfismos”) que satisfacen la siguiente lista de requisitos:

  • Alojarse en un lugar A y no hacer nada cuenta como una forma (la “identidad”).
  • Una forma de ir de A a B, junto con una forma de ir de B a C, le brinda una forma de ir de A a C (“composición”).
  • Siempre puedes retroceder, y siempre ignoras el retroceso. Es decir, si va de A a B, siempre hay un retroceso (“inverso”) de B de regreso a A, y si lo toma, es lo mismo que si se quedara en A. El retroceso de un retroceso es De la misma manera otra vez.

(He ignorado la asociatividad porque decirlo mientras permanezco en el lenguaje no técnico que estoy usando arriba se vuelve un poco prolijo, y en cualquier caso es un requisito muy natural que probablemente asumirías automáticamente de todos modos).

Se proporciona una familia simple de ejemplos de grupoides tomando un gráfico y construyendo el groupoid libre en él: los lugares son los vértices del gráfico, mientras que las formas son caminos en el gráfico, excepto que siempre podemos atravesar bordes en cualquier dirección y Siempre ignoramos el retroceso como se indicó anteriormente.

Un ejemplo con el que podría haber jugado en algún momento es el 15 rompecabezas, que forma un grupo de grupos donde los lugares son las configuraciones posibles del rompecabezas y las formas son formas de deslizar las fichas para pasar entre las configuraciones.

(Para los cognoscenti: es común, pero podría decirse que es muy engañoso pensar que un grupoide es solo una colección de grupos. El problema práctico es que hay muchos tipos de estructura adicional que puede colocar en los groupoids, y los grouppoids estructurados suelen ser mucho más ricos que grupos estructurados. Por ejemplo, los grupos de grupos con una acción de un grupo G, los grupos de grupos topológicos y los grupos de grupos de Lie son objetos mucho más ricos que las uniones de grupos con una acción de un grupo G, grupos de grupos topológicos o grupos de Lie. El problema categórico, que presagia el problema práctico, es que para identificar un grupo de grupos con una colección de grupos, debe elegir un grupo de puntos de base).

Un groupoid es una generalización de un grupo, que puede considerarse como una colección de grupos.

La definición implica la teoría de categorías. Hay una manera de considerar a los grupos como ciertos tipos de categorías. A saber, un grupo G puede ser codificado por