¿Cuál es el coeficiente de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] en [matemáticas] (1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3) ^ 5 [/ matemáticas]?

Creo que la forma más fácil de hacer esto es mediante el uso del teorema multinomial . Douglas Magowan hace eso en su respuesta, pero sin mucha explicación. Maxim Kovonov hace esto, sin emplear explícitamente el teorema. He explicado esta generalización del teorema del binomio en una de mis respuestas, pero no puedo localizar esa respuesta, algo que no es inusual para mí.

Teorema multinomial. Para [math] k \ ge 2 [/ math] y [math] n \ ge 1 [/ math],

[matemáticas] \ big (x_1 + x_2 + x_3 + \ cdots + x_k \ big) ^ n = \ displaystyle \ sum _ {{r_1 + \ cdots + r_k = n} \ atop {r_1, \ ldots, r_k \ ge 0}} { n \ elegir r_1, \ ldots, r_k} x_1 ^ {r_1} \ cdots x_k ^ {r_k} [/ math].

La suma está sobre todas [matemáticas] k [/ matemáticas] -tuplas de enteros no negativos [matemáticas] r_1, \ ldots, r_k [/ matemáticas] cuya suma es igual a [matemáticas] n [/ matemáticas]. El coeficiente multinomial [matemático] {n \ elegir r_1, \ ldots, r_k} [/ matemático] se define como

[matemáticas] {n \ elegir r_1, \ ldots, r_k} = \ dfrac {n!} {r_1! \ cdots r_k!} [/ math].

Aplicando el teorema al problema dado, tenemos

[matemáticas] \ big (1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3 \ big) ^ 5 = \ displaystyle \ sum _ {{r_1 + \ cdots + r_4 = 5} \ atop {r_1, \ ldots, r_4 \ ge 0} } {5 \ elegir r_1, \ ldots, r_4} 1 ^ {r_1} \, (2x) ^ {r_2} \, (3x ^ 2) ^ {r_3} \, (4x ^ 3) ^ {r_4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum _ {{r_1 + \ cdots + r_4 = 5} \ atop {r_1, \ ldots, r_4 \ ge 0}} {5 \ elegir r_1, \ ldots, r_4} 2 ^ {r_2} \ cdot 3 ^ {r_3} \ cdot 4 ^ {r_4} \, x ^ {r_2 + 2r_3 + 3r_4} \ ldots (1) [/ math]

Para obtener el coeficiente de [matemática] x ^ 3 [/ matemática], debemos encontrar todos los triples integrales no negativos [matemática] r_2 [/ matemática], [matemática] r_3 [/ matemática], [matemática] r_4 [/ matemática ] para el cual [math] r_2 + 2r_3 + 3r_4 = 3 [/ math]. Esto da [math] (r_2, r_3, r_4) \ in \ {(3,0,0), (1,1,0), (0,0,1) \} [/ math]. Los coeficientes multinomiales correspondientes son

[matemáticas] {5 \ elegir 2,3,0,0} \, 2 ^ 3 = \ dfrac {5!} {2! 3! 0! 0!} \, 8 = 80 [/ matemáticas],

[matemáticas] {5 \ elegir 3,1,1,0} \, 2 ^ 1 \ cdot 3 ^ 1 = \ dfrac {5!} {3! 1! 1! 0!} \, 6 = 120 [/ matemáticas ],

[matemáticas] {5 \ elegir 4,0,0,1} \, 4 ^ 1 = \ dfrac {5!} {4! 0! 0! 1!} \, 4 = 20 [/ matemáticas].

Su suma es [matemáticas] 220 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

¿Cómo puedes obtener [math] x ^ 3 [/ math] usando productos de 5 miembros de la suma:

[matemáticas] 1 ^ 4 \ cdot 4x ^ 3, 1 ^ 3 \ cdot 2x \ cdot 3x ^ 2, 1 ^ 2 \ cdot (2x) ^ 3 [/ matemáticas]

Ahora coeficientes correspondientes para ellos:

[matemáticas] P ^ 5_ {4,1} = 5, P ^ 5_ {3,1,1} = 20, P ^ 5_ {2,3} = 10 [/ matemáticas]

(Por [matemáticas] P ^ n_ {k_1, \ dots, k_l} \ mbox {Quiero decir} \ frac {n!} {K_1! \ Cdots k_l!} [/ Math])

Entonces, en total, el coeficiente para [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] es: [matemáticas] 5 \ cdot 4 + 20 \ cdot 6 +10 \ cdot 8 = 220 [/ matemáticas]

Esta pregunta puede resolverse usando el teorema multinomial. Esta pregunta ya se ha resuelto usando multinomial en quora. Entonces voy a resolverlo de otra manera.

(1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3) ^ 5

= (1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3 + (5x ^ 4 + 6x ^ 5 + 7x ^ 6 + ……… hasta el infinito) – (5x ^ 4 + 6x ^ 5 + 7x ^ 6 + ……… hasta el infinito)) ^ 5

Nota:

1. (1-x) ^ (- 2) = 1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3 +… + (r + 1) x ^ r +… .hasta el infinito.
2. (1-x) ^ (- n) = (n-1) C0 + nC1 x + (n + 1) C2 x ^ 2 + (n + 2) C3 x ^ 3 + ……… + (n + r- 1) Cr x ^ r + …… hasta el infinito. n es cualquier número entero positivo.
3. Coeficiente de x ^ r = (n + r-1) Cr

Vamos (5x ^ 4 + 6x ^ 5 + 7x ^ 6 + ……… hasta el infinito) = y

Entonces

(1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3) ^ 5

= ((1-x) ^ (- 2) -y) ^ 5

= 5C0 (1-x) ^ (- 10) – 5C1 (1-x) ^ (- 8) × y + 5C2 (1-x) ^ (- 6) × y ^ 2 – 5C3 (1-x) ^ (-4) × y ^ 3 + 5C4 (1-x) ^ (- 1) × y ^ (4) + 5C5 y ^ 5.

Está claro que para el coeficiente de x ^ 3 solo es útil el primer término de la expedición anterior (porque es el único término en el que y = (5x ^ 4 + 6x ^ 5 + 7x ^ 6 + ……… hasta el infinito) no es multiplicado)

Entonces el coeficiente de x ^ 3 in (1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3) ^ 5 es igual al coeficiente de x ^ 3 in (1-x) ^ (- 10) (Aquí n = 20, r = 3 )

Ans = (n + r-1) Cr

= (10 + 3–1) C3

= 12C3

= (12 × 11 × 10) / 6

= 220

La clave es notar que [math] x ^ 3 [/ math] se forma a partir de la expansión si y solo si el exponente de [math] x [/ math] en el producto de [math] 5 [/ math] términos de la expansión evalúa a [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

En inglés simple, queremos encontrar la cantidad de maneras que hay para obtener una [matemática] x ^ 3 [/ matemática], entonces debemos tener en cuenta los coeficientes de los diferentes términos. Podemos resolver este problema por casos.

Caso 1: Uno [matemático] x ^ 3 [/ matemático], cuatro [matemático] 1 [/ matemático] s

Si elegimos un [matemático] 4x ^ 3 [/ matemático] de la expansión y cuatro, deberíamos obtener un término [matemático] x ^ 3 [/ matemático]. Hay [matemática] \ binom {5} {1} [/ matemática] formas de hacer esto, y cada vez, obtenemos [matemática] 4 [/ matemática] de [matemática] 4x ^ 3 [/ matemática], entonces el coeficiente de [matemática] x ^ 3 [/ matemática] en este caso es [matemática] 4 \ cdot5 = 20 [/ matemática].

Caso 2: Uno [matemático] x ^ 2 [/ matemático], uno [matemático] x [/ matemático], tres [matemático] 1 [/ matemático] s

Hay [matemáticas] \ frac {5!} {1! 1! 3!} = 20 [/ matemáticas] formas de obtener este caso. Cada vez que esto ocurre [matemática] x ^ 3 [/ matemática] tiene un coeficiente de [matemática] 3 \ cdot2 = 6 [/ matemática], por lo que el coeficiente de [matemática] x ^ 3 [/ matemática] en este caso se evalúa como [matemáticas] 120 [/ matemáticas].

Caso final: 3 [matemáticas] x [/ matemáticas] s , dos [matemáticas] 1 [/ matemáticas] s

Hay [matemáticas] \ binom {5} {3} = 10 [/ matemáticas] formas de obtener este caso. Cada [matemática] x ^ 3 [/ matemática] tiene un coeficiente de [matemática] 2 \ cdot2 \ cdot2 = 8, [/ matemática] por lo que el coeficiente final para [matemática] x ^ 3 [/ matemática] en este caso es [ matemáticas] 80 [/ matemáticas].

Último paso

Sumar a los coeficientes de cada caso da una respuesta de [matemáticas] 20 + 120 + 80 = \ boxed {220} [/ matemáticas].

Sin conocer el teorema multinomial tuve que recurrir a más métodos escolares.

Básicamente lo hice (1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3) ^ 2 usando un sistema de tablas

Resultado = 1 + 4x + 10x ^ 2 + 20x ^ 3 + 25x ^ 4 + 24x ^ 5 + 16x ^ 6

Luego lo hice (1 + 4x + 10x ^ 2 + 20x ^ 3) ^ 2 solamente

Luego seleccioné de las diagonales de mi cuadrado cada uno de los poderes 3 y menos.

Resultado = (1 + 8x + 36x ^ 2 + 120x ^ 3)

Luego multipliqué esto por (1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3) pero solo la diagonal que resultaría en las potencias de 3

Esto dio como resultado los coeficientes 120, 72, 24, 4, que suman 220, que es la respuesta.

Observe las diversas formas en que los términos se pueden combinar para formar un término [matemático] x ^ 3 [/ matemático].

Luego necesitamos la suma de los exponentes aplicados a cada factor de un término para sumar $ 5 $ y necesitamos el coeficiente binomial correcto.

[matemáticas] (1) ^ 4 (4x ^ 3) \ frac {5!} {4! 1!} + (1) ^ 3 (2x) (3x ^ 2) \ frac {5!} {3! 1! 1!} + (1) ^ 2 (2x) ^ 3 \ frac {5!} {2! 3!} [/ Math]

Piensa en qué grupos de cinco factores se combinan para formar un término x ^ 3.

1 * 1 * 1 * 1 * 4x ^ 3 = 4x ^ 3 da uno.

1 * 1 * 1 * 2x * 3x ^ 2 = 6x ^ 3 da otro.

1 * 1 * 2x * 2x * 2x = 8x ^ 3

Ahora considere escribir una expresión como esta: (a + b + c + d) ^ 5, con las letras reemplazando los monomios en ese orden. Entonces podemos usar el hermano mayor del teorema binomial, el teorema multinomial, para ayudarnos.

Por brevedad, no volveré a escribir el coeficiente multinomial aquí; se define en ese artículo.

Estamos buscando los términos para [matemáticas] a ^ 4b ^ 0c ^ 0d ^ 1 [/ matemáticas] (el primer término anterior), [matemáticas] a ^ 3b ^ 1c ^ 1d ^ 0 [/ matemáticas] (el segundo término ) y [matemáticas] a ^ 2b ^ 3c ^ 0d ^ 0 [/ matemáticas]. Usando el coeficiente multinomial definido en el artículo anterior, vemos que los coeficientes multinomiales son 5, 20 y 10 respectivamente.

Eso significa que tenemos cinco instancias de 4x ^ 3, 20 instancias de 6x ^ 3 y 10 instancias de 8x ^ 3 cuando esta expresión se expande. Agrupados, esto significa que el coeficiente en la expresión expandida es 220.

Para confirmar que esta es la respuesta correcta para fines de explicación, puede marcar (1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3) ^ 5 – Wolfram | Alpha Results.

El coeficiente de x ^ 3 es 220. El cálculo es bastante simple. Solo tiene que multiplicar todos los términos que son potencias de 3 o menos y simplificar. Haga esto hasta que haya multiplicado todo el polinomio por sí mismo 5 veces.