La naturaleza de una relación asintótica es típicamente que hay algún parámetro libre, que tiene un valor crítico de tal manera que una cantidad dependiente se acerca a algún valor, siendo la relación crucial que si el parámetro libre se acerca a un valor crítico finito, existe una asíntota vertical si la cantidad dependiente tiende a más o menos infinito, o, si el parámetro libre tiende a más o menos infinito, existe una asíntota horizontal si la cantidad dependiente tiende a un valor fijo.
Deje que el parámetro libre sea [matemática] x [/ matemática] y la cantidad dependiente sea [matemática] f (x) [/ matemática]. Decimos que [math] f (x) [/ math] tiene una asíntota vertical en [math] x_0 [/ math] if [math] \ lim_ {x \ to x_0} | f (x) | = \ infty [/ math] o una asíntota horizontal (hacia el infinito positivo) si [math] \ lim_ {x \ to \ infty} f (x) = L_ + \ in \ mathbb {R} [/ math] o (hacia infinito negativo) si [math] \ lim_ {x \ to- \ infty} f (x) = L_- \ in \ mathbb {R} [/ math].
Hay una métrica natural en la línea real, que es la función de valor absoluto. Es decir, la distancia entre dos puntos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] en la línea es [matemática] d (a, b) = | ba | [/ matemática].
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La idea con las asíntotas horizontales es que [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} d (f (x), L) = | \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} f (x) -L_ \ pm | = | L_ \ pm-L_ \ pm | = 0 [/ matemáticas].
Sí, de acuerdo con esta métrica, si una cosa se acerca asintóticamente a otra, entonces se están acercando una a la otra, incluso si toma un tiempo arbitrariamente largo para que el enfoque sea “completo”. (¿Cuál es la característica definitoria de un enfoque asintótico, ¿no es así?)
Sin embargo, las métricas son arbitrarias, y siempre que satisfaga la definición de una métrica, cualquier función de distancia servirá. Una función [math] d (a, b): \ mathbb {R} ^ 2 \ to \ mathbb {R} [/ math] es una métrica si
- [math] d (a, b) \ ge0 [/ math] para todos los elementos de su dominio,
- [matemáticas] d (a, b) = d (b, a) [/ matemáticas] para todos los elementos de su dominio,
- [matemáticas] d (a, b) = 0 [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] a = b [/ matemáticas], y
- [matemáticas] d (a, c) \ le d (a, b) + d (b, c) [/ matemáticas] (es decir, satisface la desigualdad del triángulo).
Entonces, la siguiente función de distancia es una métrica válida:
[matemáticas] d (a, b) = \ begin {cases} 0 & \ text {if $ a = b $,} \\ 1 & \ text {if $ a \ ne b $.} \ end {cases} [ /matemáticas]
Si aplica esta métrica, aunque los valores de la función original se acerquen arbitrariamente al límite asintótico de acuerdo con la métrica estándar de los reales, de acuerdo con esta “métrica de unidad”, cualesquiera dos puntos que no sean iguales a algunos otro punto está a la misma distancia de él, sin importar lo que diga la función de valor absoluto. Así, en esta métrica, una función cuyo valor se aproxima asintóticamente a un límite realmente nunca se acerca al límite; pero nunca estuvo más lejos, tampoco, excepto en cualquier punto donde coincidió (instantáneamente).
