¿Cómo debo autoaprender el material que se obtendría en un buen programa de pregrado en matemáticas?

Cualquier programa de pregrado ciertamente constaría de las siguientes clases:

Cálculo 1 : variables individuales, límites, derivadas, integraciones
Cálculo 2 : Variables individuales, técnica de integración.
Cálculo 3 : Multivariables
Cálculo avanzado: Básicamente, el Cálculo 1, con todos los teoremas hechos con precisión, a partir de algunos axiomas.
Álgebra lineal: trabajar con matrices, transformación lineal
Álgebra abstracta: Introducción al grupo, anillo, módulos
Análisis complejo: números complejos, derivados, integración.

Es una buena preparación, a partir de la cual puedes pensar en un estudio más serio, como ir a la escuela de posgrado o convertirte en matemático. En las mejores universidades, puede haber cursos adicionales como:
Teoría de Galois
Topología algebraica
Álgebra conmutativa y homológica
Cálculo en múltiples
Análisis funcional
Teoria de la medida
Geometría diferencial

En mi opinión, no debes tratar de lograr el objetivo de terminar esos temas (porque fallarás). Trata de pensar en ello como un proceso interminable de aprendizaje. Estudia lo que te interese y recoge los materiales y las ideas a medida que avanzas. Para las matemáticas puras, puede probar algunos de los siguientes libros / videos, que son los más básicos / mínimos para cualquier estudiante de matemáticas puras. Sin ellos, es difícil estudiar teorías serias de las matemáticas. Todos ellos comienzan con axiomas básicos, y no asumen ningún conocimiento, aparte de alguna “madurez matemática”, que en mi opinión es la capacidad de ser paciente, leer las cosas cuidadosamente y pensar intuitivamente lo que dicen las declaraciones. No se desespere si le toma un par de horas entender un breve párrafo. Sucede todo el tiempo, incluso a matemáticos profesionales. Además, no pienses en ello como un estudio y comprensión únicos. Vi anillos e ideales (son temas básicos en cualquier álgebra abstracta) hace 4 años, pero en este momento, estoy tomando una clase de teoría básica de anillos, y todavía hay muchos teoremas / casos / preguntas que no he pensado mediante.

El principio de análisis de Rudin : es un cálculo avanzado, comenzando desde cero, haciendo todo rigurosamente con axiomas.
Álgebra abstracta de Dummit y Foote: álgebra abstracta básica, con muchos detalles y adecuada para un estudio sistemático. Las partes I y II del libro tienen suficiente álgebra abstracta para un título universitario.
Curso de video abierto de álgebra abstracta de Harvard : Álgebra abstracta. Es un poco más difícil y más rápido que Dummit y Foote, siguiendo el Álgebra de Michael Artin (que comienza con el álgebra lineal: matrices, transformación e introduce grupos, anillos, … más adelante)
Video del curso abierto de álgebra lineal del MIT : Video Conferencias | Álgebra Lineal | Matemáticas | MIT OpenCourseWare. Utiliza el álgebra lineal de Gilbert Strang , que también es un buen libro.

Después de esos libros, creo que estás en el nivel de un estudiante de tercer año en cualquier universidad superior, y estás en buena forma para estudiar temas más avanzados. Si tu pasión sigue viva, puedes contactarme y puedo sugerirte más libros.

La academia Khan es un buen lugar para aprender y practicar matemáticas.

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