Suponiendo que esto pueda ser un ejercicio para una clase de pregrado, solo proporcionaré un breve resumen.
La igualdad de la diferencia y la suma resulta de la cancelación de los términos. A la izquierda, tiene ns_n / (n + 1) – (s_ {n-1} – … – s_0). A la derecha, cada sumando posterior producirá un término adicional ks_k y luego cancelará la mayor parte del sumando anterior, por ejemplo, -ks_ {k-1} + (k-1) s_ {k-1} = -s_ {k-1} .
Mi Rudin ha estado guardado durante más de dos décadas, por lo que mi esquema de convergencia puede no ser el más bonito. Usaría los primeros principios. Como el sigma_n converge, queda por mostrar que el RHS converge; de hecho, converge a 0. Fix e> 0. Porque | ka_k | -> 0, sea M = sup | ka_k | y existe una K tal que para todo n> K, | ka_k | 2MK / e. Para n> N, el término en el RHS será 1 / n veces la suma de los primeros términos K, que, por diseño, tendrá una magnitud <e / 2, más 1 / n veces la suma de los términos restantes, que, por diseño (use nK <n), también será <e / 2. Esto muestra convergencia a 0.
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