Espero no hacer la tarea de alguien aquí, pero esto es un buen repaso para el análisis de pregrado.
Un espacio métrico completo es un espacio métrico donde cada secuencia de Cauchy converge a un punto en el espacio.
Sea M el espacio yd sea la métrica. Una secuencia de puntos [matemática] x_1, x_2,… \ en M [/ matemática] es una secuencia de Cauchy si para cada [matemática] 0 <\ epsilon \ in \ mathbb {R} [/ matemática], hay una [matemática ] 0 <N \ in \ mathbb {N} [/ math] donde
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[matemáticas] d (x_n, x_m) <\ epsilon [/ matemáticas]
para todos [matemáticas] m, n> N [/ matemáticas].
Aquí está la intuición no tan rigurosa:
Una secuencia de Cauchy es básicamente una secuencia de puntos que se acercan cada vez más. Un espacio métrico completo, entonces, es un espacio donde si tenemos una secuencia que se acerca cada vez más, entonces en el infinito, la secuencia converge a un punto que tiene que estar dentro del espacio. Lo que esto nos dice es que el espacio no tiene agujeros. Un ejemplo de un espacio que tiene agujeros es [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Defina una secuencia en [math] \ mathbb {Q} [/ math] de la siguiente manera:
[matemáticas] x_j = \ sum_ {k = 0} ^ j \ frac {1} {k!} [/ matemáticas]
Entonces claramente cada [math] x_j \ in \ mathbb {Q} [/ math] ya que es la suma de un grupo de números en [math] \ mathbb {Q} [/ math] (Tarea: demuestre que esto es Cauchy: pag). Esta secuencia de números en [math] \ mathbb {Q} [/ math] converge a [math] e \ notin \ mathbb {Q} [/ math]. De modo que [math] \ mathbb {Q} [/ math] no está completo. Los agujeros son los números irracionales.
Un espacio métrico discreto D es un espacio con una métrica d tal que
[matemática] d (x, y) = 1 [/ matemática] si [matemática] x \ neq y [/ matemática]
y
[matemática] d (x, y) = 0 [/ matemática] si [matemática] x = y [/ matemática]
para [matemáticas] x, y \ en D [/ matemáticas].
Para mostrar que cada espacio métrico discreto está completo, necesitamos un par de proposiciones simples;
Proposición 1.
Cada secuencia de Cauchy en un espacio métrico discreto es una secuencia eventualmente constante. Sea (D, d) un espacio métrico discreto y [matemática] X = {x_1, x_2, … \ en D} [/ matemática] sea una secuencia de Cauchy, entonces hay una [matemática] N \ en \ mathbb {N } [/ math] para el cual [math] x_n = x_ {n + 1} = x_ {n + 2} =… [/ math] para todos [math] n> N [/ math], es decir, X es una constante secuencia .
Prueba:
Esto es realmente bastante trivial. Elija [matemáticas] \ epsilon = 0.5 [/ matemáticas]. Como [math] X [/ math] es una secuencia de Cauchy, hay una N para la cual [math] d (x_m, x_n) N [/ math]. Sin embargo, sabemos que [math] d (x_m, x_n) [/ math] es 0 o 1, por lo que [math] d (x_m, x_n) <0.5 [/ math] implica que [math] d (x_m, x_n ) = 0 [/ matemática] y [matemática] x_m = x_n [/ matemática]. Por lo tanto, tenemos que [matemáticas] x_n = x_ {n + 1} = x_ {n + 2} = … [/ matemáticas].
Proposición 2.
Cada secuencia eventualmente constante converge.
Prueba:
Sea (D, d) un espacio métrico discreto y [matemáticas] X = {x_1, x_2, … \ en D} [/ matemáticas] será una secuencia eventualmente constante. Entonces hay una N donde [matemáticas] x_n = x_ {n + 1} = x_ {n + 2} =… [/ matemáticas] para [matemáticas] n> N [/ matemáticas]. Deje [math] p = x_ {N + 1} \ en D [/ math], luego, trivialmente, la secuencia converge en p porque para cualquier [math] 0 <\ epsilon \ in \ mathbb {R} [/ math] , [math] d (p, x_n) = 0 N [/ math].
Finalmente, cada espacio métrico discreto está completo se sigue trivialmente de las dos proposiciones.
