¿Es un número trascendental si y solo si todas las fórmulas que lo calculan con precisión infinita son infinitamente largas o tienen el símbolo de infinito en ellas?

No. La pregunta es mezclar dos conceptos distintos. Un número es trascendental si no es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Un número no es computable si no hay un algoritmo finito para calcularlo con precisión arbitraria. Todos los números no computables son trascendentales (porque tenemos algoritmos para calcular las raíces de los polinomios), pero no todos los números trascendentales son no computables.

Por ejemplo, [math] \ pi [/ math] es un número trascendental computable bien conocido, porque podemos escribir una fórmula finita que calcula infinitos dígitos de [math] \ pi [/ math], como este Haskell (programación idioma) programa:

pi = g(1,0,1,1,3,3) where g(q,r,t,k,n,l) = if 4*q+rt<n*t then n : g(10*q,10*(rn*t),t,k,div(10*(3*q+r))t-10*n,l) else g(q*k,(2*q+r)*l,t*l,k+1,div(q*(7*k+2)+r*l)(t*l),l+2)

(Fuente: Jeremy Gibbons, “Algoritmos de espiga ilimitados para los dígitos de Pi”)

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Como un contraejemplo a la dirección “if”, considere que la raíz de la mayoría de las ecuaciones quínticas y superiores, como [matemática] x ^ 5 – 10x + 2 = 0 [/ matemática] – no se puede escribir usando la suma, la resta, la multiplicación, división y extracción de raíces. Claro, podría definir un símbolo que podría agregarse a las fórmulas para calcularlos … pero, de nuevo, si permitimos símbolos arbitrarios en nuestras fórmulas, [math] \ pi [/ math] es una fórmula para un número trascendental.

Como un contraejemplo en la dirección “solo si”, el número [math] 2 ^ {\ sqrt {2}} [/ math] es trascendental, pero puede escribirse usando esas operaciones.

Editar : Anders Kaseorg señala que estos son dos conjuntos diferentes de operaciones. Es decir, la quintica no puede resolverse si se le permite tomar poderes y raíces racionales; Si puedes tomar poderes y raíces irracionales, la pregunta aún puede estar abierta. Por otro lado, para hacer números trascendentales de esta manera, debes tomar poderes o raíces irracionales.

Senia Sheydvasser

Falso.

Aquí hay una definición finita del número trascendental “[matemáticas] e [/ matemáticas]”:

[matemáticas] e = f (1) [/ matemáticas] donde
[matemáticas] f ‘(x) = f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]
(Nota: [matemáticas] f ‘(x) = df (x) / dx [/ matemáticas])

De manera similar, aquí hay una expresión infinita para un número racional (no trascendental):

[matemáticas] 0.333333333333333333333333333333… [/ matemáticas]

Este último ejemplo no es un contraejemplo a su pregunta porque requirió que “TODAS” las representaciones sean infinitas y obviamente existe la representación finita de [math] 1/3 [/ math] para el último ejemplo.

Editar: dado que el usuario de Anon que publicó esta pregunta ha cambiado la pregunta, ahora daré un contraejemplo a su aparente esperanza de que SOLO los números trascendentales requieren un número infinito de operaciones para calcular su valor exacto. El ejemplo es la raíz cuadrada de 2. No hay forma de calcular este número irracional con precisión infinita sin un número infinito de operaciones y, sin embargo, es un número irracional algebraico pero no un número trascendental. QED

Senia Sheydvasser

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