¿Cuáles son algunos ejemplos de cuando la intuición matemática está mal?

Tengo otro gran ejemplo, la excelente respuesta de Steve Baker: ¡Números de partición!

Puede dividir 2 de 2 maneras: 1 + 1, 2

Puede dividir 3 de 3 maneras: 1 + 2, 1 + 1 + 1, 3

Puede dividir 4 de 5 maneras: 1 + 3, 2 + 2, 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1, 4

Puede dividir 5 de 7 maneras: 1 + 4, 2 + 3, 1 + 1 + 3, 1 + 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 5

Puede dividir 6 de 11 maneras: 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 1 + 1 + 4, 1 + 1 + 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 3, 1 + 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 3, 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 6

Ese último es el verdadero pateador. ¡Aguanta! Tu podrias decir. Esos son los números primos. Las matemáticas son tan geniales, ¿cómo diablos funciona ese truco? Entonces, ¿de cuántas maneras puedes particionar 7? 13! Tu piensas, duh! No:

7, 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 1 + 1 + 5, 1 + 2 + 4, 1 + 3 + 3, 2 + 2 + 3, 1 + 1 + 1 + 4, 1 + 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 3, 1 + 1 + 1 + 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

¡15! La fórmula real, un descubrimiento de Ramanujan, es una maravilla: Partición (teoría de números) – Wikipedia

Las matemáticas están llenas de estas pequeñas trampas.

No diría que estos requieren el pensamiento matemático más riguroso (requiere conocimiento de álgebra), pero son casos de intuición básica que nos falla. Hay una prueba de un profesor, Shane Fredrick, en Yale que cubre esta situación. Se titula Prueba de reflexión cognitiva. Se utiliza para ver cómo las personas pueden suprimir su intuición inicial y encontrar la respuesta correcta. Dio la prueba a unas 3.500 personas y descubrió que solo el 17% podía hacer las tres cosas bien. La mayoría de las personas que se hicieron la prueba eran estudiantes universitarios. La prueba también se correlacionó positivamente con las puntuaciones de la prueba de coeficiente intelectual y las puntuaciones de SAT. La siguiente es la prueba:

Prueba de reflexión cognitiva

1. Un bate y una pelota cuestan $ 1.10 en total. El bate cuesta $ 1.00 más que la pelota. ¿Cuánto cuesta la pelota? _____ centavos
2. Si se necesitan 5 máquinas 5 minutos para hacer 5 widgets, ¿cuánto tiempo se necesitarían 100 máquinas para hacer 100 widgets? _____ minutos
3. En un lago, hay un parche de nenúfares. Todos los días, el parche duplica su tamaño. Si el parche tarda 48 días en cubrir todo el lago, ¿cuánto tiempo le tomaría al parche cubrir la mitad del lago? _____ dias

Los conceptos erróneos comunes y las respuestas correctas están a continuación:

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Los conceptos erróneos habituales son 10 centavos, 100 minutos y 24 días.

Las respuestas correctas son 5 centavos, 5 minutos y 47 días.

He oído que la pregunta del bate y la pelota aparece en Thinking, Fast and Slow por Daniel Kahneman Thinking, Fast and Slow: Daniel Kahneman: 9780374533557: Amazon.com: Books. Mi profesor de Matemática Discreta en mi Universidad me sugirió que se lo leyera, ya que dijo que tuvo un efecto positivo en su forma de pensar. Creo que todo el libro trata sobre el concepto de cuándo está bien confiar en tus intuiciones y cuándo no.

Recursos:

Prueba de reflexión cognitiva – Wikipedia

Aquí hay uno que descubrí por accidente. Dibuje puntos en cualquier posición irregular antigua en el perímetro de un círculo: conecte cada punto a cualquier otro punto y cuente el número de áreas en las que se divide el círculo. La respuesta para 1,2,3,4,5, … los puntos forman una hermosa serie: 1,2,4,8,16, …

Entonces, adivina cuántas áreas obtienes con seis puntos. Estás bastante seguro, ¿verdad? ¿Necesitamos siquiera molestarnos en contarlos?

La idea de que la respuesta es “32” es tan abrumadoramente convincente que incluso después de haberlos contado, asumes que debes haber contado mal … la intuición es tan abrumadoramente poderosa que te resulta difícil creer que te equivocas … pero tú ¡son!

(Si alguien puede descubrir cuál es la regla correcta, ¡me encantaría saberlo!)

La intuición matemática es algo que uno desarrolla con el tiempo, por lo que lo que parece intuitivo puede volverse contra-intuitivo. Recuerdo cuando era niño cuando aprendí por primera vez que la expansión decimal de la raíz cuadrada de 2 no se repitió, eso parecía contrario a la intuición, pero ahora me parece extraño que alguien sienta intuitivamente que debería repetirse. Aparentemente, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 también parecía algo notable en la antigüedad.

No puedo establecer con precisión uno de mis ejemplos favoritos, pero puedo dar una idea aproximada. Cuando estudias ecuaciones diferenciales (ordinarias o parciales), encuentras muchas en las que hay un tipo de rigidez en la solución. Si tiene una solución de [math] f ‘= f [/ math] en algún intervalo, luego extiéndala a toda la línea real, la extensión es única. La tasa de cambio que se determina en cada punto por el valor de la función es suficiente para obligarla a seguir una determinada pista, y esto parece intuitivo.

Finalmente, uno encuentra el hecho de que conocer todas las derivadas de una función en un punto no es suficiente para determinar la función, incluso si está definida en todas partes en la línea real. Deje que [math] f (x) [/ math] sea 0 para [math] x \ le 0 [/ math] y [math] e ^ {- 1 / x ^ 2} [/ math] para [math] x> 0 [/ matemáticas]. Todas las derivadas de [math] f [/ math] están bien definidas en todas partes, y permanecen en 0 hasta que llegas a [math] x = 0 [/ math], y luego, de alguna manera, todas se alejan juntas de 0. Tiene algo el sabor de un evento que no tiene causa. Esto es algo contrario a la intuición que había tenido antes. Uno podría adivinar que la razón por la cual la función exponencial es única es que sabemos por [matemáticas] f ‘= f [/ matemáticas] y [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas] que todas sus derivadas [matemáticas] f ‘(0), f’ ‘(0), f’ ” (0), … [/ math] son ​​1, pero esto no es suficiente.

Más tarde, me descubrieron algunos descubrimientos de Gromov. Parece que, en cierto sentido, descubrió que es muy común que las ecuaciones diferenciales parciales tengan soluciones que pueden divergir a medida que avanzan. Esta es la parte que no puedo decir con precisión, pero al menos es su sabor, y va en contra de algunas intuiciones que había tenido antes.

Probablemente uno de los teoremas contraintuitivos más famosos es la paradoja de Banach-Tarski: Wikipedia.

Hay otro axioma del resultado relacionado con la elección que a veces se expresa en términos de un pequeño experimento mental. Imagine que hay una fila de personas [matemáticas] p_0, p_1, p_2, … [/ matemáticas] cada una de las cuales lleva un sombrero negro o un sombrero blanco. No tienen forma de ver nada más que los sombreros de las personas que vienen después. Luego tienen que adivinar de qué color llevan el sombrero. Si la secuencia de sombreros se elige al azar, parecería que cada uno tiene, en el mejor de los casos, una probabilidad de 1/2 de estar en lo cierto. ¿Existe una estrategia para ellos (es decir, una secuencia de funciones [math] f_n [/ math] en la secuencia de colores de sombrero que puedan ver) que garantice que solo muchas de ellas estarán equivocadas? Según el axioma de elección, sí. En el conjunto de todas las asignaciones posibles de colores de sombrero, tome una relación de equivalencia de que dos de esas asignaciones son equivalentes si para algunas [matemáticas] n [/ matemáticas], todas las personas [matemáticas] p_m [/ matemáticas] para [matemáticas] m A \ ge n [/ math] se les asigna el mismo color en ambas asignaciones. Para decirlo de otra manera, considere dos asignaciones como equivalentes si difieren solo en finitos lugares en la secuencia. Cada persona puede saber en qué clase de equivalencia se encuentra la asignación actual de colores, simplemente conociendo todos los colores más allá de los suyos. Luego tome un conjunto de representantes de estas clases de equivalencia. (Aquí es donde usamos el axioma de elección). La regla es, suponga que la asignación de colores es la que da el representante de la clase de equivalencia. Cualquiera que sea la asignación real, puede diferir de esa en solo finitamente en muchos lugares. La probabilidad de que una persona determinada sea correcta no está definida, porque el conjunto de posibles asignaciones de color que hace que su elección sea correcta no se puede medir.

Aunque no diría que las matemáticas extremadamente rigurosas están involucradas aquí, la paradoja de Simpson es un gran ejemplo de la vida real de cuándo la gente probablemente se equivocará.

El problema parece simple y directo. Digamos que el jugador de baloncesto A tiene un porcentaje de tiro más alto que el jugador B en la primera mitad de la temporada. En la segunda mitad de la temporada, el jugador A nuevamente tiene un porcentaje más alto.

La mayoría de las personas asumiría automáticamente que si el porcentaje se agrega, A sería mayor que B, pero esto no siempre es cierto. Por ejemplo, si A disparó 1/1 = 100% en la primera mitad, y B disparó 99/100 = 99% para la primera mitad, y A dispara 1/100 = 1% en la segunda mitad, mientras B dispara 0 / 1 = 0%, los porcentajes agregados son:

A = 2/101 = 1.9 ~% y

B = 100/101 = 99 ~%, lo que muestra que B disparó mejor en el agregado.

Muestra cómo los humanos están predispuestos a pensar relativamente y en una caja, en lugar de considerar todos los volúmenes juntos.

Otros casos serían cuando el teorema de Bayes y la probabilidad condicional lo lleven a tergiversar las probabilidades, la falacia del jugador, etc.

Cualquier cosa que se ocupe de “dimensiones superiores” (es decir, más de 3) es muy a menudo contra intuitiva. Particularmente me gusta este ejemplo:

Comience en 2D, en un plano. Tome círculos de centros (1,1), (-1,1), (1, -1), (-1, -1), todos ellos de radio 1. Ahora considere el círculo centrado en (0,0) eso solo toca a todos esos. Es más pequeño que ellos. Obviamente.

Lo mismo en 3D: tome esferas de radio 1 con centros en (+/- 1, +/- 1, +/- 1) [hay 8 de ellas], y luego considere la esfera centrada en (0,0,0 ) que solo toca a todos esos. Es más pequeño que los otros. Claramente.

Se podría pensar que un círculo (o esfera, o su equivalente en dimensiones superiores) que se coloca * dentro * de todos los demás de esa manera siempre será más pequeño que los exteriores. Pero no. En cuatro dimensiones, todas tienen el mismo tamaño, y en 5 o más dimensiones, la interna es más grande.

Las “esferas” externas siempre tienen radio 1. En n dimensiones, la “esfera” interna tiene un radio de sqrt (n) -1, que es mayor que 1 para n> 4.

Según el conocido primer ministro británico Benjamin Disraeli, conocido, también popularizado entre algunos por Mark Twain, “hay tres tipos de mentiras : mentiras , malditas mentiras y estadísticas “. Entonces, cuando se trata de hablar sobre la intuición matemática incorrecta, es el turno de las estadísticas.

Aquí hay un ejemplo maravilloso que me encanta, que se conoce como Monty Hall Problem o Let’s Make a Deal, tomado de un programa de entrevistas sobre el problema estadounidense en la década de 1970. Le tomará mucho tiempo leer la respuesta completa, así que no se sumerja cuando no tenga suficiente tiempo.

Ahora comencemos …

En la edición del 9 de septiembre de 1990 de la revista Parade, la columnista Marilyn vos Savant respondió a esta carta:

“Supongamos que estás en un programa de juegos y te dan la opción de tres puertas. Detrás de una puerta hay un automóvil, detrás de las otras, cabras. Usted elige una puerta, digamos el número 1, y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta, digamos el número 3, que tiene una cabra. Él te dice: “¿Quieres elegir la puerta número 2?” ¿Te conviene cambiar las puertas que elijas? ”

Craig F. Whitaker Columbia, MD La carta describe una situación como la que enfrenta el programa de juegos Let’s Make a Deal, presentado por Monty Hall y Carol Merrill.

La carta original de Craig a Marilyn vos Savant es un poco vaga, por lo que debemos hacer algunas suposiciones para tener alguna esperanza de modelar el juego formalmente. Por ejemplo, asumiremos que:

1. Es probable que el automóvil esté oculto detrás de cada una de las tres puertas.
2. Es igualmente probable que el jugador elija cada una de las tres puertas, independientemente de la ubicación del automóvil.
3. Después de que el jugador elige una puerta, el anfitrión debe abrir una puerta diferente con una cabra detrás y ofrecerle al jugador la opción de quedarse con la puerta original o cambiar.
4. Si el anfitrión tiene la opción de elegir qué puerta abrir, entonces es igualmente probable que seleccione cada una de ellas.

Después de estas suposiciones, tratemos de abordar la pregunta “ ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador que cambia gane el auto? ”

A primera vista, la intuición matemática nos lleva a que la solución es del 50% . Pero veamos si es verdad o no.

A partir de eso, hay tres posibilidades de que el automóvil esté detrás de la puerta A, B o C, y este es el primer nivel de nuestro árbol de probabilidades:

El segundo nivel del árbol es la puerta que el jugador inicialmente adivina. Y, obviamente, este segundo nivel puede ser A, B o C. Entonces el árbol se convierte en el siguiente:

El tercer nivel y el último es qué puertas se revelaron después de la suposición inicial. Por ejemplo, si la suposición inicial del jugador es A, y la ubicación del auto es A, entonces la puerta revelada puede ser B o C. Pero si el jugador adivinó B, y la ubicación del auto es A, entonces la única puerta revelada es C, y etc … Entonces el árbol de probabilidad completo será como el siguiente:

Entonces, el primer resultado es donde la ubicación del automóvil es A y la suposición inicial es A y la puerta revelada es B es (A, A, B) y lo mismo para todas las otras 11 ramas. Entonces, en estos términos, el espacio muestral del problema es el conjunto:

Y así es como podemos representar nuestro árbol agregando los doce resultados posibles:

En esta etapa, debemos determinar en cada resultado si el cambio de usuario conducirá a ganar o no. Y tomemos el primer resultado (A, A, B) como un ejemplo inicial. Si la ubicación del automóvil era A, la suposición inicial era A y revelamos B, por lo que las dos puertas restantes son A y C. Cuando la suposición inicial del jugador era A y la ubicación del automóvil es A, el interruptor del jugador conducirá a moverse desde el ubicación del automóvil a una puerta vacía para que pierda.

Pero tomemos la cuarta rama (resultado) ahora y veamos cuál es el resultado del cambio de jugador. El cuarto resultado es (B, A, C). Entonces, si la ubicación del automóvil era B, la suposición inicial era A y revelamos C, por lo que la única puerta restante para que el jugador cambie es B donde está el automóvil. Entonces, en este caso, el cambio de jugador lleva a ganar.

Y podemos repetir este proceso para las 10 ramas restantes, y finalmente podemos ver que las ramas ganadoras después del cambio serán (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), ( B, C, A), (C, A, B) y (C, B, A).

Ahora es el momento de determinar la probabilidad de cada resultado ganador y calcular la probabilidad de ganar después del cambio sumando las probabilidades de todos esos resultados ganadores. Y para hacer eso necesitamos asignar probabilidad a cada borde en el gráfico. Entonces hagamos eso.

Obviamente, la probabilidad de que cada rama en el primer nivel forme la raíz del segundo punto, que es la probabilidad de que el automóvil esté detrás de cualquiera de las tres puertas, es 1/3. Además, la probabilidad de que cada rama en el segundo nivel elija el jugador A, B o C es 1/3 (a partir del supuesto 2). Y finalmente, la probabilidad de que se revelen las puertas es 1 si solo hay una puerta debido a que es la única opción para revelar, y 1/2 si hay dos puertas, debido a que son eventos independientes y su suma de probabilidades debe ser igual a 1. Y ahora el árbol de probabilidad será como el siguiente:

Finalmente, necesitamos obtener la probabilidad de que ocurra cada resultado. De acuerdo con la teoría de probabilidad (debido a que la probabilidad de que cada rama sea independiente de la probabilidad de la otra), la probabilidad de que ocurra cada resultado es igual a la multiplicación de las probabilidades de los tres bordes que conducen a ese resultado. Por ejemplo, la probabilidad más alta del evento P (A, A, B) será 1/3 * 1/3 * 1/2, lo que equivale a 1/18. Y la probabilidad del segundo P (A, A, C) también será 1/3 * 1/3 * 1/2 = 1/18. y así. Así que finalmente aquí está la versión final de nuestro árbol de probabilidad:

Y de este árbol podemos concluir la probabilidad de que un jugador que cambie gane el auto o no. ¡Y esta probabilidad es 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 = 6 * 1/9 = 6/9 = 2/3 = 66.67% no 50%!

Como notas finales, podemos concluir que la intuición matemática es incorrecta al predecir la probabilidad de que un jugador gane después del cambio. Pero, por otro lado, hay muchas notas elegantes en el árbol final que reflejan la belleza de las probabilidades y cómo es muy simétrica y lógica.

Aquí están algunas:

1. El jugador gana solo si y solo si solo hay una puerta para ser revelada . Y la razón detrás de eso es tener una sola puerta revelada que cumplimos con las dos condiciones siguientes:

1. El jugador elige una puerta que no tiene el auto.
2. Y luego cambia de esta puerta equivocada a la correcta para ganar el auto.

Pensé en una respuesta para responder a esta pregunta, en otra instancia de un interruptor combinado matemático, pero tomará mucho tiempo explicarlo. Mientras pienso en cómo escribirlo, me gustaría dirigir a todos a una respuesta fascinante del Sr. Job Bouwman, que también es una muy buena respuesta a esta pregunta:

La respuesta de Job Bouwman a Considerar la secuencia [matemática] \ {\ fracπ2, \ \ fracπ2, \ \ fracπ2, \ \ fracπ2, \ \ fracπ2, \ \ fracπ2, \ \ fracπ2, \ \ ldots \} [/ math], qué es el siguiente número, si no es [math] \ fracπ2 [/ math]?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … en el infinito es igual a [matemáticas] -1/12 [/ matemáticas]. Es realmente contra-intuitivo, pero es algo real en física. Aquí hay una prueba: ASOMBROSO: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… = -1/12.

La intuición ordinaria hizo que los matemáticos se perdieran por completo las estructuras fractales hasta una fecha tardía. Además, el sesgo pro-Achimedean en números hizo que los matemáticos se perdieran infinitesimales hasta una fecha tardía. Los infinitesimales finalmente se hicieron kosher en la década de 1960.

Esto es realmente un gran error mío recientemente:

Considere z = (1+ x) ^ y donde x <<< 1 e y >>> 1

Tenía mucho sentido para mí que la respuesta fuera simplemente:

z≈1 + y * x

Bueno, puede ser cierto en la mayoría de los casos que nos encontramos; y ciertamente cierto cuando x * y << 1. Sin embargo, no es una buena aproximación si x * y> 1. Mi error estaba usando esta aproximación para un caso donde x * y> 1.

Dado
a + b + c = 1, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 2, y a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 3, ¿qué es a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4? ? Pista: no son las 4.

¡Es un pecado creer que la hipótesis de Riemann es falsa! ¡Amén!
Enlace de referencia: https://www.researchgate.net/pos …

Aristófanes usó las matemáticas para demostrar que pi es igual a cuatro.