* A2A * Esta será una respuesta larga …
Para entenderlo mejor primero tomemos una serie de potencia
[matemáticas] A (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ tag * {} [/ matemáticas]
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Ahora una representación análoga de esta serie puede ser esta.
[matemáticas] A (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a (n) x ^ {n} \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemática] a (n) [/ matemática] que es una notación funcional y [matemática] a_ {n} [/ matemática] no son algo diferente, es como una señal discreta trazada sobre la recta numérica real o puede decir un número real asociado con los enteros positivos [matemáticas] n [/ matemáticas].
Ahora tomemos esta función discreta que da la secuencia de los coeficientes de la serie de potencia y asóciela con la suma de la serie de potencia, es decir
[matemáticas] a (n) \ Leftrightarrow A (x) \ tag * {} [/ matemáticas]
Ahora, si tomamos [matemática] a (n) = 1 [/ matemática], es decir, por cada entero + ve [matemática] a (n) [/ matemática] da 1, entonces lo que será [matemática] A (x) [/ matemáticas] ? dará una serie como esta …
[matemáticas] 1 \ Leftrightarrow A (x) = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots = \ dfrac {1} {1-x} \ tag * {} [/ matemáticas]
Pero eso es cierto solo para el dominio [matemáticas] -1 \ le x \ le 1 \ implica | x | <1 [/ matemáticas].
Ahora tomemos otro caso, tomemos [math] a (n) = \ frac {1} {n!} [/ Math], entonces, ¿qué produce [math] A (x) [/ math] ahora, dará
[matemáticas] \ dfrac {1} {n!} \ Leftrightarrow A (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ n} {n!} = e ^ x \ tag *{}[/matemáticas]
Entonces, lo que podemos ver de esto es que si sumamos una serie de potencias tomando una función discreta definida para algunos enteros positivos, de alguna manera obtenemos una función continua.
entonces es como el mapeo de [math] n = 0,1,2, \ cdots \ infty \ Leftrightarrow t \ mapsto 0 \ le t \ le \ infty. [/ math]
Entonces, nuestra serie de potencia anterior que era [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a (n) x ^ {n} [/ matemáticas] puede escribirse como
[matemática] A (x) = \ displaystyle \ int_ {t = 0} ^ {\ infty} a (t) x ^ {t} \, dt \ tag * {(1)} [/ math]
Ahora, cuando hacemos operaciones como Integración o diferenciación, generalmente no tomamos bases complicadas como x u otra cosa, generalmente nos gusta tener [math] \ {e \} [/ math] como base, porque el estado de la función no cambia es decir
[matemáticas] e ^ {at} \ overset {\ frac {d} {dt}} {\ rightarrow} a \ cdot \ boxed {e ^ {at}} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] e ^ {at} \ overset {\ int \, dt} {\ rightarrow} \ dfrac {1} {a} \ cdot \ boxed {e ^ {at}} \ tag * {} [/ math]
Entonces, ahora cambiaremos [matemáticas] x ^ t = \ {e ^ {\ log (x)} \} ^ t [/ matemáticas]
Ahora todos tienen que verificar la condición de convergencia de la integral, por lo tanto, a partir de la ecuación (1) si asumimos [matemática] a (t) [/ matemática] como cualquier función constante y mientras el límite [matemática] t \ a \ infty [ / math] si [math] x [/ math] es algo mayor que 1, entonces la integral divergerá hasta el infinito, por lo que para que converja tenemos que considerar el rango de [math] x [/ math] como [math] 0 <x <1 [/ math] y para este rango también podemos concluir [math] \ log (x) <0 [/ math].
Entonces, para hacer que se vea un poco bonito, escribiremos [math] \ log (x) = – s [/ math] y también reemplazaremos [math] a (t) \ mapsto f (t) [/ math], entonces ahora tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {t = 0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt = F (s) \ tag * {} [/ matemáticas]
Entonces, desde una perspectiva, podemos decir que LT no es más que la versión continua de una serie de potencia discreta.
Si lo miras desde la perspectiva del álgebra lineal, entonces puedes pensar en la transformación integral (LT, FT, etc.) como un cambio de coordenadas, lo que hacemos en física de la ingeniería elegimos alguna dimensión o espacio o coordenadas que simplifica nuestro problema .
Tome una analogía , suponga que es un jugador de cricket (está en el dominio del tiempo ), obviamente es bueno en el cricket ( solución de ecuación diferencial ), pero para ciertas condiciones se ve obligado a jugar al fútbol, ¿qué debe hacer? es mejor buscar un buen entrenador ( transformación de Laplace ) y solo así podrá al menos ponerse en el campo y jugar fútbol ( dominio de frecuencia, fácil y mejor comprensión de la solución ).
Esto es lo que hace LT, cambia las dimensiones (espacios) para una mejor solución y para este cambio dimensional elegimos alguna base o núcleo que es [math] e ^ {- st} [/ math] para LT, y como dije antes si se traduce un exponencial, se obtiene un múltiplo escalar de ese exponencial. ([math] te ^ {at} ~ \ text {or} ~ \ frac {1} {t} e ^ {at} [/ math]).
Otra razón para tomar las funciones exponenciales como base es porque las funciones exponenciales son funciones propias de estas operaciones que llamamos sistemas lineales invariantes en el tiempo . Los sistemas LTI son muy importantes y fundamentales. si una función sinusoidal o exponencial entra en un sistema LTI, lo que sale es una sinusoide de la misma frecuencia , o si un exponencial entra en un sistema LTI, lo que sale es el mismo exponencial, excepto que será constante por alguna constante.
[matemáticas] A. \ sin (\ omega t) \ rightarrow \ boxed {\ dfrac {1} {s + a}} \ rightarrow B.sin (\ omega t \ pm \ phi) \ tag * {} [/ math ]
Tenga en cuenta que el pecado no es más que una combinación de vectores de base exponencial.
Ahora llegando a la parte “¿por qué elegimos [matemáticas] s [/ matemáticas] como complejo?”, Es decir, la Continuación Analítica.
Lo bueno del plano complejo es que si extiende una función analítica holomórfica bien definida al ámbito de lo complejo, puede extraer mucha información útil sobre la función original, porque principalmente los números complejos se comportan bien como algunos reales.
por ejemplo, tome esta función [math] f (x) = \ dfrac {1} {1 \ pm x} [/ math], tiene un radio de [math] \ mp 1 [/ math] unidad sobre [math] x = 0 [/ math], eso significa un polo en el que la función se desvanece o explota hasta el infinito.
Pero para esta función, es decir, [math] g (x) = \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} [/ math], el ROC también es 1, pero también explota hacia el infinito en [math] +1 [ / matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas]? ¡No! no lo hace, y ahí es donde entra en juego el análisis complejo.
Si piensa en un sistema de control de segundo orden con una ecuación característica [matemática] s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ {n} s + \ omega_ {n} ^ 2 = 0 [/ matemática], su solución (compleja) proporciona dos cosas
[matemáticas] S_ {1,2} = – \ underbrace {\ zeta \ omega_ {n}} _ {\ text {Constante de tiempo}} \ pm \ underbrace {j \ omega_ {d}} _ {\ text {Frecuencia de oscilación}} \ tag * {} [/ math]
Entonces puede ver la importancia del número complejo, la cantidad de información que puede proporcionar, es por eso que analíticamente continuamos muchas funciones de reino de real a reino de complejo, el ejemplo más popular es el zeta [matemático] \ implica \ zeta \ left de Riemann (\ dfrac {1} {2} + jt \ right) [/ math].
Para trabajos de investigación, puede visitar arXiv.org, esta es sin duda la mejor colección de trabajos de investigación.
