Hay varios problemas con su pregunta tal como se la hizo (aunque ahora se ha editado a algo un poco más claro pero aún no completamente inequívoco). Primero, la línea [math] y = \ frac \ pi 6 [/ math] es horizontal, por lo que en realidad no limita ninguna región a la izquierda. Segundo, las otras dos curvas son periódicas.
Aquí hay una foto de tus curvas:
La curva horizontal es la primera en su lista. La curva de color canela pasa por el origen, y la curva de cotan está en azul.
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Las intersecciones de estas curvas definen infinitas regiones en el primer cuadrante y ninguna de ellas coincide con su descripción (original) (únicamente), por lo que debe ser más claro sobre qué región le interesa realmente.
EDITAR
Según los comentarios a mi respuesta original, creo que esto es lo que quieres:
Primero, encontramos el valor positivo más pequeño, [matemática] x_0 [/ matemática] correspondiente a la intersección de la curva [matemática] y = \ tan ^ 2 x [/ matemática] y la línea [matemática] y = \ frac \ pi 6 [/matemáticas]. La respuesta es [matemáticas] x_0 = \ arctan \ sqrt {\ frac \ pi 6} \ aprox 0.6264 [/ matemáticas].
Luego, encontramos el valor positivo más pequeño posible, [matemática] x_1 [/ matemática] correspondiente a la intersección de las curvas [matemática] y = \ tan ^ 2 x [/ matemática] y [matemática] y = \ cot ^ 2 x [/matemáticas]. La respuesta es [matemáticas] x_1 = \ frac \ pi 4 \ aprox 0.7854 [/ matemáticas]. (Esto se puede encontrar por [math] \ tan ^ 2 x_1 = \ cot ^ 2 x_1 [/ math] que implica que [math] \ tan ^ 4 x_1 = 1 [/ math] que implica que [math] \ tan x = \ pm 1 [/ matemática]. La solución positiva más pequeña es [matemática] x_1 = \ frac \ pi 4 [/ matemática].)
Ahora, por simetría, podemos encontrar el área de la “mitad izquierda” de la región “en forma de triángulo” y luego duplicarla para obtener el área completa. (Esto reducirá la cantidad de integración requerida).
Entonces obtenemos:
[matemáticas] Área = 2 \ int_ {x_0} ^ {x_1} \ tan ^ 2 x – \ frac \ pi 6 \ dx [/ matemáticas].
[matemáticas] Área = 2 \ izquierda. \ left (\ tan x -x – \ frac \ pi 6 x \ right) \ right | _ {x_0} ^ {x_1} [/ math]
Si desea la respuesta exacta, conecte los valores [math] x_0 = \ arctan \ sqrt {\ frac \ pi 6} [/ math] y [math] x_1 = \ frac \ pi 4 [/ math].
Aquí está la aproximación decimal:
[matemáticas] Área \ aproximadamente 0.0683 [/ matemáticas]
En el gráfico anterior, cada cuadrícula tiene un área de 0.01. Solo mirar la imagen confirma que esta respuesta parece ser correcta.
