Cómo demostrar que el producto de tres enteros pares consecutivos es divisible por 48

Recuerde que el producto de cualquier [math] k [/ math] enteros consecutivos es un múltiplo de [math] k! [/ Math]. Esto se ha demostrado en numerosas ocasiones en Quora : la forma más fácil de ver esto es observar que [math] (n + 1) \ cdots (n + k) [/ math] es igual a [math] k! {N + k \ elija n + 1} [/ matemática] si [matemática] n \ ge 0 [/ matemática], [matemática] 0 [/ matemática] si [matemática] -k \ le n \ le -1, [/ matemática] y [ math] (- 1) ^ k (nk) \ cdots (n-1) [/ math] if [math] n <-k [/ math].

Escriba los tres enteros pares consecutivos como [matemática] 2n-2 [/ matemática], [matemática] 2n [/ matemática], [matemática] 2n + 2 [/ matemática]. Entonces su producto es [math] 8 (n-1) n (n + 1) [/ math] es un múltiplo de [math] 8 \ cdot 3! [/ Math].

El producto de los primeros tres enteros pares positivos es [matemática] 2 \ cdot 4 \ cdot 6 = 48 [/ matemática]. Por lo tanto, no podemos hacer nada mejor que esperar que [math] 48 [/ math] divida dicho producto . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Un número par se puede expresar como 2n donde n = 1,2,3, …

Entonces 2n + 2 y 2n + 4 son los números consecutivos

El producto de 3 números pares consecutivos se puede escribir como 2n (2n + 2) (2n + 4)

= 8n (n + 1) (n + 2)

Esto dividido por 48 daría n (n + 1) (n + 2) / 6

Ahora n (n + 1) (n + 2) son tres números positivos consecutivos que siempre contendrán un múltiplo de 2 y 3 [por ejemplo: 1,2,3 tiene 2 y 3; 6,7,8 tiene 6 y 8]

Por lo tanto, n (n + 1) (n + 2) es divisible por 6 .. es decir, el producto de 3 números pares consecutivos es divisible por 48

Sencillo. Los factores de 48 son 16 y 3.

  • Cuando multiplica tres números pares consecutivos, uno de ellos siempre será divisible por 3. Motivo: considere tres números consecutivos, comenzando con … digamos x. Así tienes x, x + 2, x + 4. Considere también x – 2, un número par justo detrás de x en valor. La diferencia entre x – 2 y x + 4 = 6 como (x + 4) – (x – 2) = x – x + 4 + 2 = 6. Por lo tanto, cualquiera de los tres números pares consecutivos será divisible por 6. Esto se encarga de 3 y 2.
  • Además, todos son números pares. Por lo tanto, todos ellos serán divisibles por 2. Por lo tanto, el producto resultante será divisible por 8 (2 ^ 3).
  • Usando la lógica en el primer punto, también podemos estar seguros de que al menos uno de los números será divisible por 4.

Por lo tanto, supongamos que consideramos x, x + 2 y x + 4. Al multiplicarlos, obtenemos

x (x + 2) (x + 4). Como son pares, el número será divisible por 8. Como se demostró anteriormente, también encontraremos un número divisible por 6. De la misma manera, también encontraremos un número divisible por 4. Así, al multiplicar números divisibles por 2, 4 y 6 , podemos demostrar que obtendremos un número divisible por 48.