Deje que una barra, barra b, barra c sean tres vectores
una barra = (a1) icap + (a2) jcap + (a3) kcap.
En general, la barra aparece como:
por encima de ‘a’
Los 1,2,3 en (a1), (a2), (a3) aparecen debajo de ‘a’
la tapa se ve como ^ arriba de a.
b bar = (b1) icap + (b2) jcap + (b3) k cap.
c bar = (c1) icap + (c2) jcap + (c3) k cap.
* aquí indica el signo del producto cruzado.
una barra * [barra b + barra c] =
{(a1) i cap + (a2) j cap + (a3) k cap} * [(b1 + c1) icap + (b2 + c2) j cap + (b3 + c3) k cap]
= {(a2) (b3 + c3)} – (a3) (b2 + c2)} icap
+ {(a3) (b1 + c1) – (a1) (b3 + c3) j cap
+ {(a1) (b2 + c2) – (a2) (b1 + c1) k cap ……… LHS
considerar
una barra * barra b + una barra * barra c
= [{(a2) (b3) – (a3) (b2)} icap + {………} j cap + {…… ..} k cap]
+ [{(a2) (c3) – ((a3) (c2)} icap + {……} jcap + {…….} k cap
en adición
= {(a2) (b3 + c3) – (a3) (b2 + c3)} i cap + {…….} jcap + {……….} k cap ……… ..RHS
Por lo tanto
una barra * (barra b + barra c) = una barra * barra b + una barra * barra c
El producto cruzado de los vectores es distributivo sobre la suma del vector.
Cómo demostrar que el producto cruzado es distributivo sobre la suma de vectores
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El producto cruzado es realmente el producto de cuña seguido por el operador estrella Hodge. (La definición en términos de coordenadas es mala y debe olvidarse de inmediato). De modo que la bilinealidad del producto cruzado sigue a la bilinealidad del producto en cuña. Pero el producto de la cuña es bilineal por definición.
Supongamos que seleccionamos el sistema de coordenadas, tal eje x cae en el vector A. Luego,
A = Axi ……………… (1) Aquí, i es el vector unitario a lo largo del eje x.
Ahora, tomamos el eje y en el plano formado por los vectores A y B. Por lo tanto ,
B = Bxi + Byj …………. (2)
El eje z es perpendicular al plano de A, B.
C = Cxi + Cyj + Czk ……… (3)
Ahora, B + C = (Bx + Cx) i + (By + Cy) j + Czk ………… .. (4)
Ahora, AXB = AxByk …………………… (5)
Además, AXC = AxCyk-AxCzj ………… .. (6). Por lo tanto, AXB + AXC = (AxBy + AxCy) k-AxCzj …………………. (7)
Ahora, desde (1) y (4), AX (B + C) = AxiX [(Bx + Cx) i + (By + Cy) j + Czk] = (AxBy + AxCy) k-AxCzj ……………… . (8)
Las ecuaciones (7) y (8) verifican que el producto cruzado es distributivo con respecto a la suma.
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