La fórmula de Euler es
[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]
Mientras [math] \ theta [/ math] sea real, el coseno es la parte real y el seno es la parte imaginaria, entonces el conjugado, lo que obtenemos cuando convertimos todas las [math] i [/ math] s en [ matemáticas] -i [/ matemáticas] s, es
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[matemáticas] e ^ {- i \ theta} = \ cos \ theta – i \ sin \ theta [/ math]
El producto de los conjugados da la magnitud al cuadrado:
[matemáticas] | e ^ {i \ theta} | ^ 2 = e ^ {i \ theta} e ^ {- i \ theta} = e ^ {0} = 1 [/ matemáticas]
Podríamos haber dicho
[matemáticas] | e ^ {i \ theta} | ^ 2 = (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) (\ cos \ theta – i \ sin \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ matemáticas]
Entonces, aunque es incómodo decir “La fórmula de Euler tiene una longitud unitaria”, cuando [math] \ theta [/ math] es real, ambos lados de la fórmula de Euler tienen una longitud unitaria. (Tienen que tener la misma longitud que son iguales).