¿Por qué la fórmula de Euler tiene una longitud unitaria?

La fórmula de Euler es

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]

Mientras [math] \ theta [/ math] sea real, el coseno es la parte real y el seno es la parte imaginaria, entonces el conjugado, lo que obtenemos cuando convertimos todas las [math] i [/ math] s en [ matemáticas] -i [/ matemáticas] s, es

[matemáticas] e ^ {- i \ theta} = \ cos \ theta – i \ sin \ theta [/ math]

El producto de los conjugados da la magnitud al cuadrado:

[matemáticas] | e ^ {i \ theta} | ^ 2 = e ^ {i \ theta} e ^ {- i \ theta} = e ^ {0} = 1 [/ matemáticas]

Podríamos haber dicho

[matemáticas] | e ^ {i \ theta} | ^ 2 = (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) (\ cos \ theta – i \ sin \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ matemáticas]

Entonces, aunque es incómodo decir “La fórmula de Euler tiene una longitud unitaria”, cuando [math] \ theta [/ math] es real, ambos lados de la fórmula de Euler tienen una longitud unitaria. (Tienen que tener la misma longitud que son iguales).

Entonces la fórmula de Euler es e ^ iθ = cosθ + isinθ

Sabes e ^ 0 = 1, que es el caso cuando θ = 0.

A medida que θ aumenta en el eje imaginario, el valor absoluto (o “longitud” si lo prefiere) no puede cambiar, porque eso proviene de un número real que pasa a e ^ x.

Por lo tanto, siempre que no haya un componente real, e ^ iθ tiene un valor absoluto de 1, la longitud de la unidad.

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