Una prueba es más o menos lo que espera, demuestra que algo es cierto al alcanzarlo en una secuencia de pasos lógicos de lo que ya sabe.
A juzgar por las preguntas que ha hecho, como cómo mostrar ‘2 + 2 = 4’ lo que realmente está haciendo es una pregunta sobre los fundamentos de las matemáticas en sí. ¿Qué debemos suponer que es cierto para hacer algo?
Esta fue una pregunta que realmente se estudió en el siglo XX. Me temo que la respuesta es bastante larga, por lo que discutiré las preguntas específicas que planteó primero y luego el caso general, después del cual puede leer si todavía está interesado.
- ¿Existe la posibilidad de que el mundo sea realmente determinista y las matemáticas actuales no puedan comprenderlo?
- ¿Cuál es la diferencia entre la respuesta escalonada y la respuesta impulsiva en la teoría de sistemas?
- ¿Cual es el valor de x?
- ¿Cuál es la relación entre el rectángulo dorado y la proporción áurea? ¿Por qué la razón para el rectángulo se describe como el lado más largo dividido por el corto?
- ¿Cuál es la operación de escritura única más grande posible en una partición NTFS?
2 + 2 = 4
Imagina que intentas demostrarle a un niño que 2 + 2 = 4, ¿cómo lo harías? Probablemente tomaría 2 de algo, y otros 2 y los juntaría y contaría 4. Realmente podemos hacer lo mismo de manera más abstracta.
Como mencioné, probar que las cosas requieren algunas suposiciones, las suposiciones estándar aquí son los axiomas básicos de la teoría de conjuntos de ZF (véase la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel – Wikipedia).
Con estos supuestos podemos definir [matemática] 0 = \ conjunto vacío [/ matemática], [matemática] 1 = \ {0 \} [/ matemática] y más generalmente [matemática] n + 1 = \ {[/ matemática] [matemática ] n \} \ cup n [/ math]. Entonces, ya tenemos una forma natural de agregar incluidos en nuestra definición, es decir, agregando recursivamente uno a la vez como [math] m + n = (m + 1) + (n-1) [/ math]. Entonces [matemáticas] 2 + 2 = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4 [/ matemáticas]. Obviamente, esto se basa completamente en nuestra convención de nombres si decidimos que los números naturales fueron 1,2,3, manzanas, 5,6 … tendríamos [matemáticas] 2 + 2 = [/ matemáticas] manzanas. Pero de alguna manera eso es realmente lo bueno del método en sí mismo, no importa lo que pongamos en lugar de 4, todavía obtenemos la respuesta correcta.
Área de un cuadrado
Esta respuesta está fundamentalmente vinculada a un área de matemáticas llamada teoría de la medida (Medida (matemáticas) – Wikipedia), que es esencialmente cómo formalizamos las nociones de longitud, área, volumen, etc.
De hecho, puede hacer un trabajo bastante bueno simplemente definiendo el área de un rectángulo como ancho por largo. Esto es esencialmente todo lo que se requiere para construir una teoría básica de integración, que a su vez le dará todo tipo de áreas y volúmenes, etc.
Sin embargo, esto resulta que en realidad no es un marco suficiente, la famosa paradoja de Banach-Tarski (paradoja de Banach-Tarski – Wikipedia) demuestra un problema con esto. Hay algunos conjuntos a los que no podemos asignarles un tamaño.
Una de las formas en que tratamos esto es introduciendo la noción de una medida. La medida habitual que da las nociones tradicionales de tamaño se llama medida lebesca. Sin embargo, de hecho, esto no resuelve el problema por completo, ya que siempre habrá conjuntos a los que podemos asignar valores, pero hace un trabajo mucho mejor que solo usar el área de un rectángulo.
Sin embargo, de manera más general, no necesitamos definir nuestra área de esa manera. De hecho, hay muchos ejemplos de diferentes formas de describir el área que no da el área de un rectángulo como ancho por largo. Cuando hace probabilidad, por ejemplo, asignar un valor de probabilidad a un conjunto de resultados posibles es formalmente lo mismo que asignar una medida.
Bien, en la superficie estos dos problemas parecen muy diferentes, pero el problema real en ambos es fundamentalmente una de definiciones y axiomas. A menudo nos separamos en dos nociones distintas de cosas supuestas.
Un tipo se llama axiomas, estas son cosas que consideramos inherentemente verdaderas cuando trabajamos. Básicamente podemos elegir qué tan lejos vamos. Por ejemplo, es posible construir los números reales solo a partir de los axiomas ZF mencionados anteriormente, sin embargo, cuando trabajamos con los números reales, generalmente tenemos algunos axiomas de números reales con los que trabajamos en lugar de construirlo todo desde cero.
El segundo tipo son definiciones, estas son declaraciones donde introducimos un concepto como aserción que tiene características particulares. Por ejemplo, puede definir una función entre dos conjuntos como una regla que produce un solo elemento del segundo conjunto para cualquier elemento dado del primero.
La diferencia entre ellos radica realmente en cómo se expresan, pero cuando hablamos de supuestos debemos pensar tanto en las definiciones como en los axiomas.
Para estudiar cualquier cosa en matemáticas, necesitamos definirla efectivamente, ya sea por axiomas o con definiciones formales. A menudo hay muchas formas de definir algo que resulta ser equivalente, y también tenemos generalizaciones naturales que se pueden hacer en una o más de nuestras definiciones. Un buen ejemplo de esto es la teoría de la medida de la que hablé antes, puede comenzar solo con el área de un rectángulo, o podría usar una medida lebesca, que generaliza la noción original de área a más conjuntos. Pero una vez que tenga la noción de una medida, puede definir fácilmente las cosas que dan áreas muy diferentes a las que originalmente comenzó.
