¿Existe una alternativa a la teoría de conjuntos?

Sí Teoría de tipos. Básicamente un lenguaje de programación funcional con un sistema de tipo fuerte. El principio de univalencia implica que las estructuras equivalentes son iguales, lo que respalda directamente las matemáticas estructurales (por ejemplo, la teoría de categorías). No se basa en la lógica de predicados, sino que explota las proposiciones como traducción de tipos. El libro reciente (gratuito) sobre la teoría de los tipos de homotopía es un buen punto de partida. https://homotopytypetheory.org/b …

¿Existe una alternativa a la teoría de conjuntos? ¿Como una teoría que podría servir como una base alternativa de las matemáticas? Seguro. Las teorías de tipos y la teoría de categorías son las primeras que vienen a la mente. Vale la pena estudiarlos, por supuesto, pero existen algunas dudas sobre si los necesitamos como fundamentos de las matemáticas (después de todo, generalmente no necesitamos la teoría de conjuntos para resolver ecuaciones diferenciales).

¿Existen teorías establecidas basadas en lógicas no clásicas? Si. Existen. En realidad, se piensa que es posible construir una teoría establecida para cualquier lógica (aunque, no lo sabremos con certeza ya que hay demasiados). Se ha hecho para el intuicionismo y la lógica modal, así como para la coherente.

Me arriesgaré y diré que la geometría perfecta, la taxonomía y la contabilidad son moderadamente equivalentes a la validez de la teoría de conjuntos, aunque tal vez menos formalmente consistentes.

La geometría que se modela en gráficos, la taxonomía unificada o compleja, y la contabilidad que tiene un corolario cualitativo, parecen relacionarse con la teoría de categorías.

El atractivo de la teoría de conjuntos es que es tan consistentemente aplicable (en mi propio trabajo no lo uso matemáticamente, sino filosóficamente). En mi opinión, esta coherencia ya supone una teoría de categorías de algún tipo (si queremos resultados para cosas super-formalistas que tienen cualidades como la psicología o el conocimiento).

Para un filósofo, la teoría de conjuntos y el cálculo son poco más que una forma de tener inteligencia y demostrar cualidades formales.

Las cualidades formales permanecen dentro del dominio racional, por lo que las matemáticas nunca proporcionarán evidencia de cada tipo de conocimiento último. De hecho, si el conocimiento es una cualidad, al menos requerimos categorías para demostrarlo, ya sea que las categorías sean ingenuas realistas o no.

Existen alternativas a la teoría de conjuntos, pero ninguna es realmente lo suficientemente sofisticada. La investigación sobre eso todavía está en curso. Hay algunas extensiones de ZFC, pero eso no cuenta como alternativa.

La lógica no se basa en la teoría de conjuntos, pero es el sistema de deducción utilizado.

La realidad no es algo de lo que las matemáticas se preocupen intrínsecamente. Por supuesto, puede usarlo para modelar.