Esta es una pregunta muy amplia: hay docenas de nociones diferentes de lo que significa ser un “fajo de X sobre Y”, y la definición realmente depende de los detalles de la instancia de la que está hablando. Sin embargo, puedo tratar de dar algunos aspectos generales que generalicen las diferentes nociones de gavilla que uno podría encontrar.
Siempre que esté hablando de gavillas, estudiará gavillas de alguna estructura algebraica, por ejemplo, un espacio vectorial, un anillo, un conjunto: llamemos a esto “estructura X” – sobre algún dispositivo geométrico – una variedad o un esquema , llámelo “M” para múltiple. Ahora intentaré construir una definición intuitiva de una gavilla por capas secuenciales de definiciones de “orden inferior” de cosas que se aproximen a lo que realmente es una gavilla.
Para un orden cero de precisión geométrica, una gavilla es solo una función que asigna una instancia de X a cada punto de M. Por ejemplo, una gavilla de anillos asigna un anillo a cada punto de su múltiple M, y generalmente solicita que los parámetros definir el anillo varía de alguna manera continua (o suave, etc.). Si está hablando de un fajo de espacios vectoriales (la configuración más común que encontraría), entonces toda esta aproximación aproximada le proporciona un número de dimensión en cada punto (ya que un espacio vectorial está completamente determinado por su dimensión). Esto aún no es muy interesante.
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Ahora cada instancia de una estructura algebraica tiene elementos (para un espacio vectorial, estos son vectores). Al primer orden de precisión geométrica, una gavilla le dice cómo un elemento de su estructura X puede cambiar a lo largo de una ruta en el múltiple M. Aquí es conveniente hablar por separado sobre dos tipos diferentes de gavillas.
Gavillas rígidas: un tipo de axioma de gavilla, que se podría llamar un axioma de gavilla “rígido” (el término técnico es “localmente constante”) tiene un requisito de ruta que literalmente obliga a su elemento a transformarse de una manera particular a lo largo de una ruta. A saber, una gavilla rígida le asigna los siguientes datos:
- Los datos de una instancia de estructura X sobre cada punto m de M, por ejemplo, un espacio vectorial, V (m)
- Dada una ruta P (t) en M para t que varía entre 0 y 1 con el punto inicial P (0) = m, y dado un elemento v del espacio vectorial (o estructura algebraica) V (m) asignado al punto inicial, los datos de los elementos de “evolución” v (t) en los espacios vectoriales (o estructuras) V (P (t)) sobre cada punto P (t) de la ruta.
Estos elementos v (t) deben cumplir dos requisitos. Primero, se requiere que sean compatibles con la estructura algebraica. Para espacios vectoriales, esto significa que v (t) + w (t) = ( v + w ) (t) y una condición similar para la multiplicación por un escalar. En segundo lugar, deben ser locales. Esto significa que si la ruta P se divide en una serie de piezas [matemáticas] P_1, P_2, [/ matemáticas] … y v (t) es un dato de evolución válido en cada pieza [matemáticas] P_i [/ matemáticas], entonces También es un dato de evolución válido en P.
En otras palabras, una gavilla rígida le dice cómo, si elige los “datos iniciales” de un elemento al comienzo de una ruta, evoluciona a lo largo de la ruta de una manera que solo depende del comportamiento local de la ruta. (Piense en ecuaciones diferenciales). Una consecuencia importante es que si la ruta es un bucle, es decir , su punto final P (1) al final es el mismo que su punto inicial m = P (0), entonces la evolución determina una transformación de monodromía (posiblemente interesante) v [ math] \ mapsto [/ math] v (1) asociado a la ruta P.
A veces las poleas rígidas son, bueno, demasiado rígidas. En ese caso, la noción de una envoltura general (para nuestro primer orden de abstracción) no le dice un dato de evolución particular, pero le dice qué datos de evolución están permitidos y cuáles no. Un dato de evolución que se permite se llama una sección de su haz sobre el camino P. Una vez más, estos deben satisfacer dos tipos de axiomas: primero, compatibilidad con su estructura algebraica X, y segundo, localidad, que dice que si una evolución el dato está “permitido” en cada pequeño trozo de su ruta, [math] P_i [/ math], luego está permitido (“es una sección”) en toda la ruta.
Una elección de datos de evolución generalmente le da, entre otras cosas, una topología en el “espacio total” de pares (m, v en V (m)): intuitivamente dice que si m ‘es un punto de M cercano a m, entonces v en V (m) está cerca de v ‘ en V (m’) si v y v ‘ son parte de algún dato de evolución. (Tenga en cuenta que esta no es una definición formal, y debe estar cuidadosamente calificada para que tenga sentido).
Ahora, un nivel más alto, al segundo orden de precisión geométrica, una gavilla le indicará los datos de evolución permitidos en una “hoja” bidimensional P (s, t) en nuestro múltiple. Como probablemente pueda deducir en este punto, a medida que avanza en orden, especifique datos de evolución permitidos, o “secciones”, en “hojas” de dimensiones superiores y superiores, hasta llegar a una dimensión igual a la dimensión de su múltiple M. A menudo, es conveniente permitir que sus hojas no se coordinen, y luego termina hablando de secciones sobre subconjuntos geométricos arbitrarios de su múltiple (generalmente es suficiente especificar los datos relevantes solo en subconjuntos abiertos; esta es la base de la definición de gavilla en geometría algebraica).
Tenga en cuenta que a veces, no es necesario ir hasta la dimensión de la variedad. Para las poleas rígidas, por ejemplo, el “segundo orden de precisión geométrica” le da la definición correcta de una gavilla. En lugar de proporcionarle nuevos datos de evolución, en realidad restringe los datos antiguos al decir que ciertos datos de evolución “no están permitidos”. Una consecuencia es que las transformaciones de monodromía v [math] \ mapsto [/ math] v (1) solo terminan dependiendo del bucle P “hasta la homotopía” (es decir, no cambia si deforma continuamente el camino P).
