Deje que los números sean x, y, z y la disposición de los números sea (x, y, z).
Considere [matemáticas] x + y + z = r [/ matemáticas]
Si el número de soluciones a la ecuación anterior es [matemática] T_ {r} [/ matemática]
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Considere tres compartimentos con 2 paredes de separación. Los objetos R deben estar distribuidos en estos, donde el número de objetos en un compartimento representa x, y y z. Organice allí (r + 2) cosas (r objetos idénticos y 2 saparadores / paredes idénticos). Entonces,
[matemáticas] T_r = \ frac {(r + 2)!} {(r!) (2!)} [/ matemáticas]
[matemáticas] T_r = \ frac {(r + 2) (r + 1)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] T_r = \ frac {r ^ 2 + 3r + 2} {2} [/ matemáticas]
Necesitamos encontrar [matemáticas] \ sum_ {1} ^ {N} T_ {r} [/ matemáticas]
El caso para r = 0 es trivial y puede considerarse por separado.
[matemáticas] \ sum_1 ^ N T_r = \ sum_1 ^ N \ frac {r ^ 2 + 3r + 2} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} (\ sum_ {1} ^ N r ^ 2 + 3 \ sum_1 ^ N r + \ sum_1 ^ N 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {(N) (N + 1) (2N + 1)} {12} + 3 \ frac {(N) (N + 1)} {4} + N) [/ matemáticas]
Al simplificar,
[matemáticas] = \ frac {N ^ 3 + 6N ^ 2 + 11N} {6} [/ matemáticas]
Sumando 1 para el caso r = 0,
[matemáticas] Resp. = \ frac {N ^ 3 + 6N ^ 2 + 11N + 6} {6} [/ matemática]
Se puede verificar mediante la comprobación manual de N = 1,2,3, … que la fórmula anterior proporciona las soluciones correctas 4,10,20, … y así sucesivamente.
