¿Por qué las personas crearon números complejos?

Creo que la respuesta de Mark Eichenlaub es genial. Es un buen ejemplo simple que podría aplicarse en un curso de álgebra de secundaria. En cierto modo, proporciona justificación para el razonamiento en la respuesta de Victor Loh. Es decir, conocer el cierre algebraico de los números reales nos ayudará a entender el álgebra en general. Entonces, si estuviera enseñando este tema a una audiencia no técnica, definitivamente imprimiría ambas respuestas y las usaría en mis notas. Son grandiosos.

Dicho esto, la respuesta que doy a mis estudiantes de ingeniería eléctrica es ligeramente diferente. Daré un resumen de esa explicación aquí. Se proporciona una versión más técnica (aunque solo de 2 páginas) al final de esta respuesta en la referencia [1].

Aquí está el mensaje para llevar (que se repetirá al final): al hacer que nuestros números sean “más complicados”, los métodos que utilizamos para trabajar con esos números pueden volverse más simples.

Los ingenieros trabajan frecuentemente con sistemas dinámicos. Por ejemplo, una bola que se mueve por el aire puede describirse con un sistema de ecuaciones que describe cómo están cambiando los estados (por ejemplo, posición y velocidad) del objeto. A medida que pasa el tiempo, la pelota flota en el aire y oscila a través de un rango de posiciones y velocidades a lo largo de un patrón conocido como “ecuación diferencial”. En otras palabras, debido a que el objeto no existe en una sola posición todo el tiempo, buscamos formas de describir cómo está cambiando la posición en lugar de la posición misma. Estas ecuaciones diferenciales se ven así (por alguna razón, Quora no está poniendo un salto de línea después de la coma, pero normalmente vería uno allí):

[matemáticas] \ begin {cases}
\ dot {p} = v, \, \\
\ dot {v} = a
\ end {cases} [/ math]

lo que significa que la posición [matemáticas] p [/ matemáticas] cambiará a una velocidad que llamamos [matemáticas] v [/ matemáticas], y la velocidad [matemáticas] v [/ matemáticas] cambiará a una velocidad que llamamos [ matemáticas] a [/ matemáticas]. Esta relación “a un ritmo” se conoce como “derivada”. Por ejemplo, si tiene una función:

[matemáticas] v (t) = en [/ matemáticas]

y solicitó la derivada (tasa de cambio instantánea) de la velocidad [matemática] v [/ matemática] con respecto al tiempo [matemática] t [/ matemática], la respuesta sería [matemática] a [/ matemática], porque después cada unidad de tiempo (es decir, desde el tiempo [matemática] t [/ matemática] hasta el tiempo [matemática] t + 1 [/ matemática]), la velocidad aumenta en [matemática] una cantidad [/ matemática].

Resulta que es muy fácil describir el mundo en términos de ecuaciones diferenciales como estas. Sin embargo, es difícil “integrar” estas ecuaciones. Es decir, si sabe cómo se relacionan todas estas tasas, es difícil responder a la pregunta: “Entonces, ¿qué pasa con la posición con el tiempo?” En otras palabras, si sabe que [matemáticas] \ dot {v} = a [/ matemáticas], es bastante fácil darse cuenta de que [matemáticas] v (t) = en [/ matemáticas], pero se vuelve mucho más complicado cuando comienzas a encadenar estas ecuaciones de velocidad juntas como hice anteriormente con posición y velocidad.

Sin embargo, resulta que si de alguna manera sabes que la función de posición [matemáticas] p (t) [/ matemáticas] es una versión a escala de la función [matemáticas] \ exp (st) [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ exp [/ math] es la “función exponencial”, entonces es muy fácil diferenciar e integrar. En particular, si [math] p (t) = \ exp (st), [/ math] entonces [math] \ dot {p} = s \ exp (st) = sp (t) [/ math]. Es decir, la derivada de la posición es solo una versión escalada de la posición. Resulta que esto nos permite convertir ecuaciones diferenciales que son difíciles de resolver en problemas de álgebra relativamente simples que son bastante fáciles de resolver.

Desafortunadamente, la función [matemáticas] p (t) [/ matemáticas] no se verá como un exponencial escalado en general. Sin embargo, se puede demostrar que las posiciones más realistas que te gustaría resolver pueden desglosarse en sumas de senos y cosenos. Además, puede mostrar que los senos y cosenos se pueden dividir en sumas de exponenciales escaladas siempre que permita que el parámetro [math] s [/ math] sea un número complejo . Se garantiza que la parte compleja de todos estos números complejos se cancelará para cuando llegue a su solución. Sin embargo, para llegar a esa solución, todo lo que tiene que hacer es álgebra sobre los números complejos en lugar de cálculos complicados sobre los números reales.

Entonces, ¿por qué usamos números complejos ? Al hacer que nuestros números sean “más complicados”, los métodos que utilizamos para trabajar con esos números pueden volverse más simples.

[Tenga en cuenta que ciertamente puede establecer una conexión larga pero relativamente directa entre mi explicación y la discusión de Mark Eichenlaub , pero lo dejo como un ejercicio. ]

[1]: http://www.tedpavlic.com/teachin …

Nota: Trataré de enmarcar esto como una historia, que debería ser accesible incluso para los estudiantes de secundaria. ¡Puede que no sea necesariamente cronológicamente exacto, pero seguramente muy instructivo!

Los inicios

Los humanos concibieron el conjunto de números naturales (= enteros positivos) como consecuencia de la necesidad de contar cosas, ¡digamos manzanas! Así llegó {1, 2, 3, …}

También tenía que haber un símbolo para expresar que no había manzanas. Así vino 0. El conjunto de enteros no negativos entró: {0, 1, 2, 3, …}

Hola, enteros negativos!

Esto parece suficiente para fines prácticos en los primeros tiempos. Pero entonces los humanos también habrían definido la suma / resta y la multiplicación / división.

Debido a la curiosidad innata del hombre, se habría dado cuenta de que el conjunto de números hasta el momento no está completo bajo la suma y su inverso (resta).

Por ejemplo, hasta el momento no hay un número, que cuando se suma a 5 produce 2. Esto es lo mismo que decir que: x + 5 = 2 no tiene una solución.

Entonces. entraron enteros negativos. El conjunto de todos los enteros {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} se cerró bajo suma / resta.

Hola, números racionales!

Sin embargo, todavía no hay cierre bajo multiplicación / división. Todavía no teníamos un número, que cuando se multiplicaba por 5 producía 2. Esto es lo mismo que decir que: x * 5 = 2 no tiene una solución.

Por lo tanto, ¡bienvenidos los números racionales! El conjunto de racionales se cierra bajo las cuatro operaciones (suma / resta / multiplicación / división), excepto la división por cero, etc. ¡Hasta ahora todo bien!

Bienvenido, números irracionales / reales!

Pero entonces, todavía no tenemos un número que, cuando se eleva al cuadrado, da 2. La necesidad de esto surge naturalmente, por ejemplo, a partir del teorema de Pitágoras. Esto es lo mismo que decir que: x ^ 2 = 2 no tiene una solución.

Entonces, ¡extendemos el conjunto de números racionales al conjunto de números reales! Los nuevos números así introducidos se denominan “irracionales”, ¡aunque no tienen nada de irracionales!

Finalmente … ¡números complejos!

Sin embargo, no tenemos un número que, al cuadrado, produzca -1. Esto es lo mismo que decir que: x ^ 2 = -1 no tiene una solución.

En términos más generales, no pudimos resolver ecuaciones polinómicas arbitrarias con coeficientes reales, mientras permanecíamos en el conjunto de números reales.

Por lo tanto, ¡necesitábamos la extensión del conjunto de números complejos!

¡En el conjunto de números complejos, finalmente tenemos un cierre debajo de todo (incluida la resolución de ecuaciones polinómicas arbitrarias)!

Epílogo

Por lo tanto, vemos que la extensión progresiva del conjunto de números naturales al conjunto de números complejos siempre ha sido impulsada por la necesidad de cierre.

¡Espero que esta respuesta haya sido útil! Cualquier comentario o discusión sobre este tema siempre es bienvenido … 🙂

Esta respuesta se publicó por primera vez en: La respuesta de Prasham Rambhia a ¿Por qué los números complejos se consideran números?

Dejando de lado las teorías convencionales sobre números complejos, tomemos un enfoque más práctico para comprender el uso de números complejos.
Primero, es muy esencial comprender y apreciar que las Matemáticas son un mundo paralelo completamente DIFERENTE al que podemos acceder en cualquier momento. Dicho esto, los números que usamos todos los días o incluso los números reales no son tan reales como parecen. El hecho de que nos sintamos absolutamente cómodos con los números reales muestra que estamos interconectados con ese mundo paralelo de las matemáticas. Como dice Sherlock:

Ves, pero no observas

Sí, utilizamos números complejos en nuestra vida cotidiana, no solo en aspectos técnicos, sino también en la vida ordinaria de un hombre común. Antes, lo llevo a través de esto, solo pregúntese, ¿dónde usa realmente los números reales “normales”, contando obviamente? Pero, ¿por qué crees que los humanos incluso comenzaron a contar? Es analizar una situación, compararla con otra situación similar y explicarla a otra persona.

Bien, ahora quédese conmigo en este experimento mental, deje que A y B sean 2 personas que sean amigos íntimos y planeen competir juntos en una elección bajo el nombre del partido ‘Blah’ (idealmente un buen objetivo del partido, es decir, servir a la gente). A es una persona idealmente buena (diciendo la verdad, no es un tipo corrupto, desinteresado) y B es un tipo realmente malo (hará cualquier cosa para emerger como un ganador en las elecciones). A no sabe nada sobre el lado malo de B. ‘Blah’ es un partido relativamente nuevo y no tiene absolutamente ninguna posibilidad de ganar las elecciones, pero aquí viene el papel de B, hizo trampa e hizo que ‘Blah’ ganara contra los partidos políticos fuertes predominantes. Y ahora B muere después de un accidente mortal.

Considere al señor A

• Era una buena persona antes de votar
• Es una buena persona después de los resultados electorales.

Asumir

• ‘Blah’ no podría haber ganado poder en estas elecciones sin B.
• Nadie sabe que B hizo trampa, es decir, B no dejó cabos sueltos.

‘Blah’ es un tipo de partido político que idealmente todos los países estarían desesperados por tener, pero dado el marco de tiempo, obviamente es imposible que cualquier partido gane en sus primeras elecciones. Entonces no hay ninguna EXPLICACIÓN RACIONAL por la cual ‘Blah’ podría haber ganado poder. El resultado final es también el mejor, con B muerto, ‘Blah’ es realmente una mejor fiesta. Así que no hay solución para este problema en el dominio real …

Para explicar esto, busco la ayuda de un dominio complejo.

• Represento A por 1 , y B por 1 + i (1 representa bien, representa mal, B es malo y bueno al mismo tiempo)
• La fiesta ‘Blah’ es, por lo tanto, 1 + 1 + i = 2 + i .
• B engaña durante la elección, implica trampas ‘Blah’.
• Entonces, Blah = (2 + i) * i = 2 * i – 1
• B cubre, entonces Blah = (2 * i – 1) * – i = 2 + i
• B muere, entonces Blah = (2 + i) – (1 + i) = 1
• Entonces ‘Blah’ es finalmente bueno.

*** FIN del experimento mental *******

En la vida cotidiana, si una persona se compromete a decir la verdad cada vez y si miente en algún momento, entra en el dominio complejo, donde represento la verdad con ‘1’ y una mentira con ‘i’. Entonces, cada vez que establezco un límite para un dominio y el sujeto lo cruza, puedo modelarlo en números complejos.

Espero que esto te haya dado una idea de los números complejos y te haya ayudado a sentir su necesidad … 🙂

PD: En el experimento de pensamiento anterior, no modelé las situaciones con precisión y fue solo un análisis aproximado para demostrar su uso.

El experimento mental está inspirado en la película tamil ‘Ko’. (¡Lea la trama de esa película para tener una mejor idea de lo que estoy hablando!)

Intentaría responder esto desde mi perspectiva. Creo que es natural para nosotros crear números complejos. Aquí es por qué:

Lo primero que pensamos cuando las personas discuten sobre el campo característico 0 es [math] \ mathbb {Q} [/ math], el campo de los números racionales. Hay dos tipos de valoración en [math] \ mathbb {Q} [/ math], a saber, la valoración p-adic y la valoración basada en la distancia euclidiana. Si el campo está completo con respecto a estas valoraciones, obtenemos [math] \ mathbb {Q} _p [/ math] y [math] \ mathbb {R} [/ math] respectivamente. El caso del campo de números reales es equivalente a los cortes estándar de Dedekind (o si lo desea, las clases de equivalencia de secuencias de Cauchy).

Cuando estudiamos campos, es natural comenzar estudiando la extensión algebraica (un elemento en el campo es algebraico si es una raíz de un polinomio distinto de cero). Gradualmente, se enseña el concepto de cierre algebraico de un campo (el concepto de que cada elemento en el campo es algebraico). El cierre algebraico de [math] \ mathbb {R} [/ math] resulta ser [math] \ mathbb {C} [/ math], el campo complejo. El hecho de que [math] \ mathbb {C} [/ math] está cerrado algebraicamente proviene del teorema fundamental del álgebra (que se demuestra utilizando el teorema de Liouville o los argumentos topológicos). El hecho de que [math] \ mathbb {C} [/ math] es el cierre algebraico de [math] \ mathbb {R} [/ math] requiere cierta teoría de grupo (teorema de Sylow si no recuerdo mal).

Extendiendo la excelente respuesta de Prasham Rambhia

También diría que todo comienza con los números negativos, no tenemos nada en el mundo real que esté realmente definido por números negativos, para que algo sea negativo necesita un concepto referencial o algún otro alineado con el número negativo, por ejemplo, dirección o deuda. .
Luego, usamos números que no son tangibles para explicar los conceptos que tenemos, por lo tanto, esto nos lleva a crear un nuevo tipo de números que buscan completar las operaciones, y luego esos números están relacionados con los conceptos intrínsecos que alineamos con los números anteriores.

Hay infinitos sistemas numéricos matemáticos, operaciones matemáticas y sistemas. Sí, en realidad infinitamente muchos. Todo disponible, esperando ser descubierto y utilizado.

La mayoría de ellos son inútiles.

Algunas son muy útiles y una vez aprendidas se vuelven intuitivas. Ellos son los que usamos. Primero estaban los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6 …) excelentes para administrar números enteros de objetos reales. Las primeras versiones del sistema numérico natural ni siquiera tenían cero. Cuando alguien se dio cuenta de que también podía ser un número, todos lo encontraron increíblemente útil. Luego hubo números racionales (excelentes para partes de cosas), números irracionales como pi, e, etc. que surgen en las matemáticas mismas y son muy útiles en el mundo real.

Los números imaginarios son útiles para varios propósitos, especialmente para todo tipo de oscilaciones y ondas. (Libremente) podemos tratar la oscilación como una parte real que vemos en el mundo real y una parte imaginaria que no vemos, pero si pretendemos que es el cuadrado total es una constante. Las constantes son excelentes en matemáticas. Esto nos permite escribir ecuaciones maravillosamente simples para describir la onda u oscilación y, una vez que aprendes unos pocos trucos imaginarios, las matemáticas simplemente fluyen.

Al menos para mí, vale la pena recordar que todos los sistemas numéricos y las matemáticas generalmente están compuestos. Realmente no están en el mundo, el mundo está hecho de objetos, como árboles, rocas, moléculas, átomos, partículas, fotos, etc., todos haciendo cosas. Los números y las matemáticas son muy útiles para modelar el mundo, pero son parte de nuestro sistema de modelado que en realidad no existen en otras partes del mundo. De esta manera, los números imaginarios son tan válidos como los números naturales.

Se crearon números complejos para resolver ecuaciones similares ax ^ 2 + bx + c = 0, donde, b ^ 2-4ac <0. Como se sabía, el cuadrado de un número real siempre es positivo. Los matemáticos pueden dejar que el problema se exprese como no se puede resolver o dar un salto mediante una extensión de dominio, creando un dominio donde se puedan resolver ecuaciones como estas, al tiempo que se conservan las operaciones fundamentales de la aritmética.
Esta fue la razón por la cual se formó el dominio de los números complejos.

Imaginemos que queremos o necesitamos nuevos números que consistirán en un par de números. Los vectores no son lo que realmente queremos, ya que no podemos multiplicarlos para obtener otro vector. Queremos un objeto que consista en dos números y que podamos sumar, multiplicar y dividir para obtener como resultado objetos del mismo tipo.
Este objetivo es alcanzable, y nuestros números recién inventados tendrán la misma estructura que el campo de los números complejos.
Tenga en cuenta que si queremos números que consisten en triples o más, habrá más de una respuesta correcta, pero si queremos pares, solo hay una.

Ya se han dado muchos argumentos para usar números complejos:

• La elegancia y la facilidad de uso son muy buenos argumentos.

• Los números complejos generan la multiplicación con números negativos en una operación continua
• con números complejos, todas las ecuaciones polinómicas de orden n tienen n soluciones.

Pero a mis ojos, el argumento principal de los números complejos siempre será:
[matemáticas] \ text {atan2} \ left (\ frac {im (z)} {re (z)} \ right) [/ math]

ver:
Argumento (análisis complejo)
atan2

El número complejo es una abstracción, que ayuda a describir ciertos patrones que ocurren en la naturaleza. Ayudan enormemente a describir varios patrones repetitivos como movimientos circulares y vibraciones.

Los números complejos describen la rotación. Sin ellos, los ingenieros, los físicos, los astrofísicos, etc … no podrían trabajar en estas circunstancias. Es una necesidad si quieres describir cómo funciona el mundo. No podríamos explicar por qué los planetas y los objetos giran en general. La mecánica cuántica sería inútil sin ella. Es necesario porque es gran parte de nuestro universo.

La respuesta que me convencí durante mis días de pregrado fue que sabemos que cada polinomio de un grado tiene raíces ‘n’ y cuando no pudimos encontrar raíces en el espacio real recurrimos a números complejos. Por supuesto, las explicaciones anteriores son respuestas más sofisticadas y “reales”. (juego de palabras 🙂)

Es por los números negativos.

Sabemos que la raíz cuadrada de 4 es 2, ¿verdad?
¡Incorrecto!

Si estás en la escuela secundaria, sabrás que la raíz cuadrada de 4 tiene dos soluciones:
+2 y -2.

Pero, ¿cuál es la raíz cuadrada de -4?
Para eso. Necesitamos definir algo nuevo aquí.

Escribamos -4 como:
-1 x 4 (el resultado es -4 de todos modos)

Ahora toma la raíz cuadrada. Y luego sepáralos en ellos como:

—–> sqrt (-1) x sqrt (4)

El sqrt (-1) se define como la constante “i”. Reemplace sqrt (-1) como i.

—–> i x sqrt (4)
Las raíces cuadradas de 4 son -2 y +2, por lo tanto,

—–> i x -2 e i x 2
—–> -2i y 2i

Por lo tanto, la solución de la raíz cuadrada de -4 es -2i y 2i.

El i se llama un número complejo.

Esta es una respuesta de un estudiante que se especializa en ingeniería. La clave para explicar por qué introducimos números complejos es pensar por qué usamos números. En campos de ingeniería como el eléctrico o mecánico, los problemas físicos se resumieron primero en problemas matemáticos. Los números son una herramienta importante para describir esos problemas físicos. La razón por la cual números como el número entero, el número racional, el número real, etc. pueden describir esos problemas es que comparten la misma “estructura de álgebra”. Aquí, tenemos un ejemplo de “estructura de álgebra”. podemos sumar la energía de dos partes de un sistema para obtener la energía total, porque la energía en sí tiene la estructura en la que sumamos dos energías generará la energía total y, en adelante, la energía puede expresarse en número real. El número complejo es otra estructura ligeramente compleja, porque tenemos [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática] que describe la regla de transformación del número complejo. Todos los problemas de física que necesitan la estructura [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática] pueden describirse por número complejo. Lo sorprendente no es que hayamos introducido un número complejo, sino que muchos sistemas de física en el mundo real tienen la estructura. Si se introdujeran números complejos, las cosas se volverían más simples. Para concluir, utilizamos una herramienta más compleja para resolver problemas. La estructura misma puede hacer una gran cantidad de aritmética difícil, y esas cosas que nos quedan por resolver serán más simples.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS INDICAN LA INCLINACIÓN.
i = rotación de 90 grados
i * i = rotación de 180 grados
i * i * i = rotación de 270 grados
i * i * i * i = rotación de 360 ​​grados

Ahora, ¿qué pasa con 3 + 4i?
3 = componente horizontal del número (también conocido como parte real)
4 = componente vertical del número (también conocido como parte imaginaria).

Espero que esto ayude
Binnoy
http: // visualizingmathsandphysic …

Imagina una pelota. Cuando lanzas la pelota (traduce) hacia adelante, la distancia es R, la rotación es C. son independientes, pero en algunos casos (colisiones), los números están conectados.

Para tener una solución a × ^ 2 = -1