Tienes razón al pensar que los polinomios son solo las sumas de esas series. Esto significa que puede usar las fórmulas para las sumas de las series correspondientes para encontrar las respuestas. Estos son:
1) [matemáticas] \ sum _ {k = 1} ^ {n} {k} = \ frac {1} {2} n (n + 1) [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ frac {1} {2} {n} ^ {2} + \ frac {1} {2} n [/ matemáticas]
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2) [matemáticas] \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{k} ^ {2}} = \ frac {1} {6} n (n + 1) (2n + 1) [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ frac {1} {3} {n} ^ {3} + \ frac {1} {2} {n} ^ {2} + n [/ matemáticas]
3) [matemáticas] \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{k} ^ {3}} = \ frac {1} {4} {n} ^ {2} {(n + 1)} ^ {2 }[/matemáticas]
= [matemáticas] \ frac {1} {4} {n} ^ {4} + \ frac {1} {2} {n} ^ {3} + \ frac {1} {4} {n} ^ {2 }[/matemáticas]
4) [matemáticas] \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{k (k + 1) (k + 2)}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{{k} ^ { 3} +3 {k} ^ {2} + 2k}} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{k} ^ {3}} +3 \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{k} ^ {2}} +2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{k}} [/ math]
= [matemáticas] \ frac {1} {4} {n} ^ {2} {(n + 1)} ^ {2} + \ frac {1} {2} n (n + 1) (2n + 1) + n (n + 1) [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ frac {1} {4} {n} ^ {4} + \ frac {3} {2} {n} ^ {3} +2 {n} ^ {2} + \ frac {3} {4} n [/ matemáticas]
No estoy seguro de cómo derivar estas fórmulas (salvo la primera para la suma de n), pero todas pueden probarse por inducción.
