Una de las formas más convenientes de definir qué es una lógica es decir que una lógica es un conjunto de todas las tautologías, es decir, fórmulas que siempre toman el valor designado.
Daré un ejemplo simple: la lógica proposicional clásica sobre el lenguaje [matemáticas] \ {\ supset, \ neg, p_1, p_2, \ ldots \}. [/ Matemáticas] El conjunto de fórmulas se define de manera estándar. El conjunto de valores es [matemática] \ {0,1 \} [/ matemática], el conjunto de valores designados es [matemática] \ {1 \} [/ matemática].
Ahora podemos proporcionar semántica. Denotaremos evaluación (la función que asigna valor a una fórmula) como [math] || _ {\ phi}. [/ Math]
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- [matemáticas] \ forall p_i (i \ in \ mathbb {N} \ Rightarrow | p | _ {\ phi} = \ phi (p)) [/ math]
- Con A y B siendo fórmulas, se cumple lo siguiente:
- [matemáticas] | \ neg A | _ {\ phi} = 1- | A | _ {\ phi} [/ matemáticas]
- [matemáticas] | A \ supset B | _ {\ phi} = \ text {max} (1,1- | A | _ {\ phi} + | B | _ {\ phi}) [/ math]
En otras palabras, la lógica clásica es el conjunto de fórmulas que siempre toman el valor [math] 1 [/ math] bajo una semántica dada. Estas fórmulas se llaman tautologías clásicas.
Ahora, a las reglas.
Se puede dar una definición formal de una regla sobre algún conjunto. Una regla con [math] n [/ math] premisas sobre un conjunto [math] S [/ math] es un subconjunto de [math] S ^ {n + 1} [/ math] que consiste en tuplas de un tipo [math ] \ langle s_1, \ ldots, s_n, s_ {n + 1} \ rangle [/ math] con los primeros miembros [math] n [/ math] como premisas y el último como conclusión.
En realidad no necesitamos reglas en lógica (porque podemos construirlo solo con semántica). Sin embargo, a veces queremos saber qué podemos derivar. En este caso construimos cálculos lógicos.
Se puede construir un cálculo clásico simple con tres esquemas de axioma:
- [matemáticas] A \ supset (B \ supset A) [/ math]
- [matemáticas] (A \ supset (B \ supset C)) \ supset (A \ supset B) \ supset (A \ supset C) [/ math]
- [matemáticas] (\ neg B \ supset \ neg A) \ supset ((\ neg B \ supset A) \ supset B) [/ math]
y la regla única sobre el conjunto de todas las fórmulas del siguiente tipo [matemática] \ langle A, A \ supset B, B \ rangle [/ math] llamada modus ponens o mp ¿Cómo podemos derivar algo en ese cálculo? Fácilmente: podemos tomar axiomas y luego aplicar nuestra regla a ellos y a los resultados de aplicaciones anteriores de modus ponens en nuestra derivación. Además, podemos demostrar que nuestro cálculo es adecuado: puede probar exactamente tautologías clásicas y nada más. En otras palabras, una vez que derivamos algo en nuestro cálculo, sabemos que se había hecho de una manera lógica clásica.
¿Quién puso esa regla (mp)? Bueno, se sabe desde Aristóteles, sin embargo, supongo que la gente lo sabía incluso antes.
