El lema de Nakayama dice de qué manera los módulos generales sobre anillos conmutativos son diferentes de los espacios vectoriales sobre campos. Supongo que la razón por la que se conoce como lema es porque, aunque no es necesariamente muy explícito en sí mismo, le permite probar muchos resultados útiles diferentes, como el teorema de descenso.
Para tener una idea de lo que quiero decir, déjenme analizar cómo funciona para los anillos locales conmutativos. Recuerde que un anillo local es aquel en el que existe un único ideal máximo, al que llamaremos [math] \ mathfrak {m} [/ math]. Un ejemplo de un anillo como este es [math] \ mathbb {C} [[X]] [/ math], que es el conjunto de todas las series formales de poder en la variable [math] X [/ math]. El ideal máximo en este caso es el ideal máximo generado por [matemáticas] X [/ matemáticas], escrito [matemáticas] (X) [/ matemáticas].
La forma en que expondré el lema de Nakayama en este caso es la siguiente: dejemos que [math] M [/ math] sea un módulo [math] R [/ math] generado finitamente. Si [math] \ mathfrak {m} M = M [/ math], entonces [math] M = 0 [/ math].
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¿Cuál es el punto de? Tenemos un anillo local, que es una generalización de un campo: [math] R [/ math] es un campo exactamente si [math] \ mathfrak {m} = \ {0 \} [/ math]. [math] M [/ math] es la generalización de un espacio vectorial de dimensión finita; de hecho, si [math] R [/ math] es un campo, entonces [math] M [/ math] será solo eso.
En el caso de un campo, el lema de Nakayama es trivial: solo te dice que si multiplicas todo en un espacio vectorial por [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y obtienes el mismo espacio vectorial, entonces eso significa que todo tu vector el espacio solo consistía en el vector cero.
Pero para los no campos, las cosas se vuelven más complicadas. Por ejemplo, considere [math] \ mathbb {C} [[X]] / (X ^ 2) [/ math], el conjunto de polinomios complejos en [math] X [/ math], pero con la condición adicional de que establecer [matemáticas] X ^ 2 = 0 [/ matemáticas]. Como conjunto, consta solo de polinomios lineales, con multiplicación definida como:
[matemáticas] (aX + b) (cX + d) = (ad + bc) X + bd [/ matemáticas]
Este es un módulo sobre [math] R = \ mathbb {C} [[X]] [/ math], ya que siempre podemos multiplicar un polinomio lineal por una serie de potencia formal, y luego “tirar” todos los términos lineales Lo dejaré como un ejercicio para verificar que esto satisfaga todas las propiedades deseadas, y que es generado por [math] 1 [/ math] como un módulo [math] R [/ math].
Ahora, observe que si multiplicamos este módulo por [math] (X) [/ math], todo no se colapsa a cero; en cambio, nos queda el conjunto de polinomios lineales en [math] X [/ math] sin términos constantes. Es decir, cosas de la forma [matemáticas] c X [/ matemáticas].
Sin embargo, el lema de Nakayama nos asegura que las cosas no pueden volverse demasiado locas. Independientemente de cuál sea el módulo que elijas, una parte del mismo será asesinado por la multiplicación por los ideales máximos.
Una vez más, podemos relacionar esto con el caso de los campos modificándolos mediante el ideal máximo [math] \ mathfrak {m} [/ math] (para decirlo de forma algo intuitiva, pensamos en poner sus elementos a cero) – [math] R / \ mathfrak {m} [/ math] es entonces un campo (en el ejemplo que usamos anteriormente, sería muy específicamente [math] \ mathbb {C} [/ math]), mientras que [math] M / \ mathfrak { m} M [/ math] es un espacio vectorial sobre este campo. Si el lema de Nakayama no fuera cierto, es cierto, podría ser que [math] M = \ mathfrak {m} M [/ math], entonces este espacio vectorial colapsaría a cero después de que modificáramos. Pero ese no es el caso, todavía queda información útil restante.
