La contracción del tensor es una generalización de la traza en el sentido de que la traza es el tipo más simple de contracción del tensor (es decir, una contracción del tensor de rango 2). Para ver esto, todo lo que hay que hacer es echar un vistazo a las definiciones algebraicas adecuadas de ambas operaciones, después de lo cual este hecho se vuelve obvio.
Considere primero la traza, que la mayoría de la gente ve como una operación aplicada a las matrices (calculada sumando los elementos diagonales de la matriz). Sin embargo, al ver el rastro desde una perspectiva abstracta, podemos considerarlo como un mapa de [math] \ text {End} (V) [/ math], el espacio de transformaciones lineales en algunos [math] n [/ math] -espacio vectorial dimensional (correspondiente al espacio de [math] n \ times n [/ math] matrices) a un elemento escalar del campo [math] k [/ math].
Para obtener este mapa, se observa en el álgebra abstracta que hay un isomorfismo canónico entre [matemáticas] \ text {Fin} (V) [/ matemáticas] y [matemáticas] V \ otimes V ^ * [/ matemáticas], donde [matemáticas ] V ^ * [/ math] denota el espacio dual de [math] V [/ math], es decir, el espacio de todos los funcionales lineales (mapas [math] f: V \ to k [/ math]) en [math] V [/matemáticas]. Luego, la traza de un elemento en [math] V \ otimes V ^ * [/ math] se obtiene simplemente evaluando el vector dual en el vector.
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Entonces, ¿cómo se generaliza esto a la contracción tensorial? Bueno, echemos un vistazo a la definición de contracción del tensor. Dado un espacio vectorial
[matemáticas] \ bigotimes_ {i = 1} ^ mV \ otimes \ bigotimes_ {i = 1} ^ nV ^ * [/ math],
una contracción del tensor de rango [matemática] 2k [/ matemática] es un mapa que toma un elemento del espacio vectorial anterior y devuelve un elemento en:
[matemáticas] \ bigotimes_ {i = 1} ^ {mk} V \ otimes \ bigotimes_ {i = 1} ^ {mk} V ^ * [/ math]
¿Como hace esto? Esencialmente, solo involucra [math] k [/ math] emparejamientos de los espacios [math] V [/ math] con los espacios [math] V ^ * [/ math] y aplica el mismo mapa de rastreo, [math] V \ otimes V ^ * \ a k [/ matemáticas]. A partir de esto, es bastante claro que la contracción del tensor es de hecho una generalización de la traza.
