Si bien puede pensar en [matemáticas] e ^ r [/ matemáticas] como el valor límite de la aproximación discreta [matemáticas] (1 + \ frac {r} {n}) ^ n [/ matemáticas] si lo desea, creo Es preferible apreciar la naturaleza intrínsecamente continua del concepto directamente:
¿Qué significa tener una tasa de interés (continua) de [matemáticas] r [/ matemáticas]? Simplemente significa que, en cualquier momento, la tasa a la que está ganando dinero es [matemática] r [/ matemática] veces su cantidad actual de dinero.
En otras palabras, si [math] f (t) [/ math] es la cantidad de dinero que tiene en el momento [math] t [/ math], entonces para ganar intereses a una tasa de [math] r [/ math] significa que [math] \ frac {d} {dt} f (t) = rf (t) [/ math].
Dicho de otra manera, [matemáticas] \ frac {\ frac {d} {dt} f (t)} {f (t)} = r [/ matemáticas]. El lado izquierdo es [matemáticas] \ frac {d} {dt} \ ln (f (t)) [/ matemáticas]; por lo tanto, la integración de ambos lados de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] t [/ matemática] produce [matemática] \ ln (f (t)) – \ ln (f (0)) = rt [/ matemática] , es decir, [matemáticas] f (t) = f (0) e ^ {rt} [/ matemáticas].
(Esta es esencialmente la definición de [matemáticas] \ ln [/ matemáticas] y [matemáticas] e [/ matemáticas]; su razón de ser es analizar la ecuación diferencial del crecimiento exponencial precisamente de esta manera. Por supuesto, financiera El interés no es el único ejemplo natural de crecimiento exponencial uniforme en el que uno podría pensar, pero, por capricho de la historia, eso es lo que a menudo se enseñan estas ideas en relación específica con …)
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Ya he recibido varios votos por la respuesta dada anteriormente, pero, como se señala en los comentarios a continuación, lo siguiente es lo que hubiera preferido decir en su lugar:
Hay dos cosas que mostrar: que ganar interés induce un crecimiento exponencial, y luego que el factor específico para ese crecimiento exponencial es [math] e ^ {rt} [/ math]. Solo el primero de ellos tiene alguna sustancia matemática genuina; esta última es una tautología puramente definitoria, como veremos.
Deje que [math] i_r (t) p [/ math] denote la cantidad de dinero (o cualquier otra cosa) que resulte después del tiempo [math] t [/ math] a un interés de [math] r [/ math] de valor de [math] p [/ math]. (Es decir, [matemática] i_r (t) [/ matemática] es la cantidad por la cual un valor se multiplica con el tiempo [matemática] t [/ matemática] a una tasa de interés de [matemática] r [/ matemática]).
Por supuesto, esperar el tiempo [matemáticas] t_1 [/ matemáticas] y luego esperar el tiempo [matemáticas] t_2 [/ matemáticas] es lo mismo que esperar el tiempo [matemáticas] t_1 + t_2 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] i_r (t_1 + t_2) p = i_r (t_2) (i_r (t_1) p) [/ math], es decir, [matemáticas] i_r (t_1 + t_2) = i_r (t_2) i_r (t_1) [/ math] ; en otras palabras, la función [matemáticas] i_r [/ matemáticas] convierte las adiciones en multiplicaciones.
Cualquier función que lo haga también podría considerarse exponenciación con alguna base fija; dejaremos que [math] i_r [/ math] denote esta base y escribiremos [math] i_r ^ t [/ math] intead de [math] i_r (t) [/ math] a partir de aquí. (Esto completa la demostración de que ganar interés es un crecimiento exponencial)
La única pregunta que queda es, ¿qué es [matemáticas] i_r [/ matemáticas]? Bueno, ¿qué significa tener una tasa de interés (continua) de [matemáticas] r [/ matemáticas]? Simplemente significa que, en cualquier momento, la tasa a la que está ganando dinero es [matemática] r [/ matemática] veces su cantidad actual de dinero.
En otras palabras, la definición de ganar intereses a una tasa de [matemáticas] r [/ matemáticas] significa que [matemáticas] i_r [/ matemáticas] se define por la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {d} {dt} i_r ^ t = r i_r ^ t [/ math] (equivalentemente, [math] \ frac {d} {dt} i_r ^ t = r [/ math] cuando [math] t = 0 [/ math]).
Como sucede, tenemos un nombre especial para la relación entre la derivada de exponenciación con alguna base y el valor real de exponenciación con la base (equivalentemente, la derivada inicial de exponenciación con esa base): llamamos a esto el logaritmo natural de esa base. Esta es la definición del logaritmo natural.
Por lo tanto, vemos que [math] \ ln (i_r) = r [/ math], por la definición misma de logaritmo natural y tasas de interés.
En otras palabras, definiendo [math] \ exp [/ math] como el inverso de [math] \ ln [/ math], tenemos que [math] i_r = \ exp (r) [/ math], nuevamente puramente por definición .
De la regla [matemáticas] (a ^ b) ^ t = a ^ {bt} [/ matemáticas], se deduce que [matemáticas] \ ln (a ^ b) = b \ ln (a) [/ matemáticas], que es decir, [matemáticas] \ exp (xy) = \ exp (x) ^ y [/ matemáticas]. En particular, esto significa [matemáticas] \ exp (x) = \ exp (1) ^ x [/ matemáticas]. Entonces, finalmente, definiendo [math] e [/ math] como [math] \ exp (1) [/ math], tenemos que [math] \ exp (x) = e ^ x [/ math].
Por lo tanto, [math] i_r = \ exp (r) = e ^ r [/ math], y así, la cantidad por la cual un valor se multiplica con el tiempo [math] t [/ math] a una tasa de interés de [math] r [/ math] es, por definición, [math] (e ^ r) ^ t = e ^ {rt} [/ math].
