Un espacio métrico completo o un espacio Cauchy es un espacio métrico en el que cada secuencia Cauchy tiene un límite y este límite está dentro de ese espacio métrico.
Entonces imagine que [math] x ^ {(n)} [/ math] es una secuencia de Cauchy en [math] l ^ 2 [/ math]. Entonces Dado [math] \ epsilon> 0 [/ math], [math] ∃n_0∈N [/ math] tal que
[matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ \ infty | x_j ^ {(n)} – x_j ^ {(m)} | ^ 2 <\ epsilon ^ 2 [/ matemáticas]
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para todos [math] m, n \ geq n_0. [/ math] Entonces
[matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ N | x_j ^ {(n)} – x_j ^ {(m)} | ^ 2 <\ epsilon ^ 2 [/ matemáticas]
para todos [math] N \ in \ mathbb {N} [/ math] y [math] m, n \ geq n_0 [/ math].
Tenemos para cada [matemática] j [/ matemática] [matemática] \ in \ mathbb {N} [/ matemática]
[matemáticas] | x_j ^ {(n)} – x_j ^ {(m)} | \ leq (\ sum_ {j = 1} ^ \ infty | x_j ^ {(n)} – x_j ^ {(m)} | ^ 2) ^ \ frac {1} {2} <\ epsilon [/ math]
esto significa que [math] (x ^ {(n)} _ j) _ {n \ in \ mathbb {N}} [/ math] es una secuencia de Cauchy en [math] \ mathbb {Z} [/ math]. Si es una secuencia cauchy, entonces tiene un límite:
[matemática] x ^ {(n)} _ j \ rightarrow x_j [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty. [/ math]
Luego, para una [matemática] N \ in \ mathbb {N} [/ math] fija
[matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ N | x_j ^ {(n)} – x_j ^ {(m)} | _ {m \ rightarrow \ infty} ^ 2 \ rightarrow \ sum_ {j = 1} ^ N | x_j ^ {(n)} – x_j | ^ 2 <\ epsilon ^ 2 [/ math]
lo que muestra que el límite está dentro de su espacio métrico. Entonces está completo.
Puede encontrar una respuesta más detallada aquí:
Duda en la prueba de que $ l ^ {p} $ está completo
Por cierto, la integridad de un espacio métrico siempre se define con respecto a una norma precisa. Supuse que la norma es la norma o la norma euclidiana. Sin embargo, su necesidad de aclararlo.
