¿Qué es un fractal? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

Considere el ejemplo más obvio de un fractal, el conjunto de Mandelbrot (http://en.wikipedia.org/wiki/Man…).

¿Cuáles son las características básicas de esto? ¿Cuáles de estas características son comunes a todos los fractales?

En el corazón del conjunto de Mandelbrot hay dos cosas, en primer lugar, la ecuación z = z ^ 2 + c donde z & c son números complejos de la forma z = x + iy donde i = sqrt (-1) y x & y son reales números. Esta es una ecuación iterativa o recursiva, donde el último valor de z contribuye al siguiente valor de z , mientras que c es un valor aditivo constante.

En segundo lugar, hay un algoritmo que asocia esta ecuación con cada punto dentro de un espacio ordenado, como un plano cartesiano 2D donde las coordenadas x e y de cada punto determinan el valor de c dentro de la ecuación que está asociada con ese punto.

Luego, inicialmente establecemos z = 0 e iteramos las ecuaciones para ver cómo evoluciona el valor de z . O z tiende hacia el infinito o cero. Con la ecuación anterior se sabe que si el módulo de z es mayor que dos, es decir | z | > 2 , entonces las iteraciones definitivamente explotarán hasta el infinito, por lo tanto, solo tenemos que considerar la región cuadrada de los puntos delimitados por (-2,2) y (2, -2) . Todos los demás puntos tenderán definitivamente al infinito.

Esta región cuadrada se puede escalar y asignar a los píxeles de un mapa de bits, por lo tanto, podemos usar colores para registrar nuestros resultados. Luego iteramos la ecuación para cada punto, usando las condiciones de terminación:

Si | z | > 2, luego coloreamos el píxel en función del número de iteraciones que se han calculado hasta ahora. Esta es una medida de la rapidez con que el valor tiende al infinito.
Si después de un número máximo de iteraciones predefinido el módulo aún es menor que dos, entonces asumimos que tenderá a cero y lo dibujamos en negro.

(Consulte http://judebert.com/progress/bro… para obtener una explicación más detallada de “Cómo hacer un Mandelbrot”)

La imagen resultante es un registro de la tendencia de varias condiciones iniciales (valores de c ) a hacer que la ecuación tienda al infinito.

Luego se puede estudiar la imagen ampliando regiones para revelar más detalles (zoom) o desplazándose (volando). También se pueden cambiar los parámetros algorítmicos (morph).

Aquí hay un ejemplo de acercamiento al conjunto de Mandelbrot (“¿necesita un nuevo enlace de trabajo?”). Para indicar el grado de aumento, si el cuadro final fuera del tamaño de su pantalla, la imagen inicial (fractal completo) sería más grande que el universo conocido.

En teoría, uno puede continuar acercándose a una profundidad arbitraria y seguirá encontrando más niveles de detalle. Sin embargo, en la práctica, el límite está determinado por el límite de precisión numérica dentro de su computadora (por ejemplo, 32 o 64 bits). Entonces, en algún momento llegamos a un límite en el que no se pueden calcular más detalles. Nota: se puede usar aritmética de precisión arbitraria implementada por software, sin embargo, con el tiempo, la sobrecarga computacional se vuelve tan grande que constituye un límite.

Las características algorítmicas descritas hasta ahora son específicas para el cálculo de una vista particular del conjunto de Mandelbrot, sin embargo, si se aplican principios similares generalizados a todos los fractales. Por ejemplo, la existencia de un campo ordenado de sistemas, la asociación de un proceso iterativo con cada sistema, diferentes condiciones iniciales para cada sistema, etc.

Ahora veamos dentro de la imagen, es decir, el espacio de formas y formas, donde podemos discernir algunas características interesantes. En el nivel superior vemos todo el fractal, que tiene una forma muy característica. Llamemos a esto su ‘firma’. Cada fractal tiene una firma diferente. A medida que nos acercamos y exploramos el fractal, vemos variaciones en esta firma surgir una y otra vez. Esto es auto-similitud fractal de niveles múltiples . Cada forma dentro del fractal es una variación de un tema común. Algunos de estos son reconociblemente similares a la firma, sin embargo, incluso aquellos que superficialmente parecen bastante diferentes, sin embargo, son variaciones sobre este mismo tema.

Aquí hay un vuelo espectacular (panorámica a resolución constante) del fractal de Mandelbox (). Esto tiene una ecuación ligeramente diferente, y está en 3D, por lo tanto, la firma es diferente, pero el principio de auto-similitud y variaciones sobre un tema está bellamente ilustrado en este video (recomendaría verlo en HD (resolución de 720p) y pantalla completa).

Otra característica que se puede notar es la calidad de relleno del espacio del fractal. No es un objeto sólido porque, aunque parezca que una región está llena, si hacemos un zoom nos damos cuenta de que no es una región sólida, sino más bien un encaje de regiones más pequeñas. No importa cuán lejos hagamos zoom, esta propiedad de encaje permanece. Por lo tanto, similar a este universo, el fractal es en su mayoría un espacio vacío y cuanto más lo miramos, más espacio vacío encontramos. Por lo tanto, un fractal no es un objeto 1D o 2D o 3D, sino que se encuentra en algún lugar entre estos, por lo tanto, es un objeto fraccionalmente dimensional (http://en.wikipedia.org/wiki/Fra…), que es donde se encuentra el nombre ‘ fractal ‘viene de.

En general, estas características, como los procesos iterativos, un campo estructurado de sistemas, la autosimilitud y el relleno de espacios son comunes a todos los fractales, sin embargo, los detalles pueden variar.

En todos los niveles, este universo y sus sistemas son notablemente fractales. Esto puede determinarse matemáticamente o simplemente mediante la observación de las características de las formas manifiestas. Por ejemplo, compare el zoom anterior en el conjunto de Mandelbrot con este zoom conceptual a través del universo que muestra las diversas formas que surgen en varias escalas desde partículas hasta super cúmulos galácticos ().

O compare este fractal cambiante (¿necesita un nuevo enlace de trabajo?) Junto con este video de lapso de tiempo de una hoja de helecho (http://video.google.com/videopla…). O la aparición de formas vistas en este fractal cambiante () junto con este lapso de tiempo de una flor abriéndose (http://alwayshd.com/ViewClip.php…).

Otros ejemplos de fractales conocidos son estructuras vegetales, pulmones, cerebros, sistemas circulatorios, flujos de tráfico, redes sociales, patrones de caza de tiburones, distribución de galaxias, movimientos del mercado de valores, etc.