¿[Matemáticas] (A \ veces B) \ copa (B \ veces A) = (C \ veces D) [/ matemáticas] implica [matemáticas] A = B = C = D [/ matemáticas]?

La implicación es falsa. A partir de definiciones,

[matemáticas] \ begin {ecation *} A \ times {B} = \ {(a, b): a \ in {A} \ mbox {y} b \ in {B} \} \ end {ecation *} [ /matemáticas]

y para la unión

[matemáticas] \ begin {ecation *} x \ in {A \ cup {B}} \ iff {x \ in {A}} \ mbox {o} x \ in {B} \ end {ecation *} [/ math ]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ begin {align *} (\ xi, \ eta) \ in \ left (A \ times {B} \ right) \ cup \ left (B \ times {A} \ right) & \ iff \ left ( \ xi \ in {A} \ mbox {o} \ xi \ in {B} \ right) \ mbox {and} \ left (\ eta \ in {A} \ mbox {or} \ eta \ in {B} \ derecha) \\ & \ iff \ xi \ in {A} \ cup {B} \ mbox {y} \ eta \ in {A} \ cup {B} \ end {align *} [/ math]

De esto,

[matemáticas] \ begin {align *} \ left (A \ times {B} \ right) \ cup \ left (B \ times {A} \ right) & = \ {(\ xi, \ eta): \ xi \ en {A} \ cup {B} \ mbox {y} \ eta \ in {A} \ cup {B} \} \\ & = \ {(c, d): c \ in {C} \ mbox {y } d \ in {D} \} \ end {align *} [/ math]

Lo que significa [matemáticas] C = A \ cup {B} = D [/ matemáticas].

Editado para mejorar la legibilidad.

No es así, ya que esto podría ser cierto si cualquiera de [matemática] A, B, C, D [/ matemática] es el conjunto vacío. Si [math] A [/ math] y [math] C [/ math] son ​​el conjunto vacío, entonces [math] A \ times B [/ math], [math] B \ times A [/ math] y [math ] C \ times D [/ math] son ​​todos los conjuntos vacíos, por lo que la igualdad se mantiene Pero si [matemáticas] B [/ matemáticas] no está vacío, entonces no es igual a [matemáticas] A [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] A, B, C, D = \ {\}, \ {1 \}, \ {\}, \ {2 \} [/ matemáticas] es un contraejemplo.

Si además requerimos que [matemática] A, B, C, D [/ matemática] no estén vacías, entonces por cada [matemática] a \ en A [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] aparece en tanto el lado izquierdo como el derecho de [math] (A \ times B) \ cup (B \ times A) = C \ times D [/ math], entonces [math] a \ in C [/ math] y [matemáticas] a \ en D [/ matemáticas]. Del mismo modo, cada elemento de [matemáticas] B [/ matemáticas] está en ambos [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas].

Ahora, considere algunas [matemáticas] c \ en C [/ matemáticas]. Como [math] c [/ math] aparece en [math] C \ times D = (A \ times B) \ cup (B \ times A) [/ math], [math] c [/ math] debe estar en [matemática] A [/ matemática] o [matemática] B. [/ matemática] Desde arriba, esto muestra que [matemática] c [/ matemática] está en [matemática] C [/ matemática] y [matemática] D [/ matemáticas]. Entonces [math] (c, c) \ in (C \ times D) = (A \ times B) \ cup (B \ times A) [/ math], lo que significa que [math] c [/ math] también debe estar en [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]. Por simetría, cada miembro de [matemáticas] D [/ matemáticas] también está en [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas].

Por lo tanto, cada elemento de cualquiera de estos conjuntos también debe estar en todos los demás, lo que significa que todos estos conjuntos son iguales.

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