¿Cuál es el valor mínimo de [matemáticas] 3 ^ {| x – y |} + 3 ^ {| y – z |} + 3 ^ {| z – x |} – \ sqrt {6x ^ 2 + 6y ^ 2 + 6z ^ 2} [/ matemáticas] si [matemáticas] x + y + z = 0 [/ matemáticas]?

La respuesta es 3, que se ve más fácilmente al inspeccionar la trama:
Aquí sustituí [math] z \ to-xy [/ math] y restringí el dominio a [math] y \ geq 0 [/ math], ya que el problema es simétrico en x e y.

Para mostrar esto formalmente, puede encontrar todos los extremos locales de la manera habitual y estableciendo las primeras derivadas con respecto a x e y en cero. Desafortunadamente, encontrar la derivada se vuelve tedioso, porque la primera derivada no existe para la función de valor absoluto en 0, por lo que debe observar 7 casos de diferencia:

  • A lo largo de cada una de las líneas rojas en la figura anterior | xy | = 0, | yz | = 0 y | zx | = 0
  • En cada una de las cuatro regiones intermedias

Si realmente quiere mostrar esto formalmente, puede ver cada uno de estos casos usted mismo. Recomiendo usar un sistema de álgebra de computadora (como Mathematica).

Gracias Pathan. Después de tomar derivada con respecto a x, y, y, z, tenemos
(1)
(2)
(3)
Dejar
Si, (1) – (2), (1) – (3), (2) – (3), tenemos


o a = b = c o | yz | = | -x + z | = | xy | o x = y = z o x = y = z = 0

Entonces, el valor mínimo es 3.

Salud.

Tal vez no pueda resolverlo ahora, pero te diré cómo hacerlo.

Puedes usar el concepto de multiplicadores de Lagrange. La aplicación principal de los multiplicadores de Lagrange es maximizar o minimizar una función Multivariable, sujeta a una restricción.
Deje f (x, y, z) =

y sea g (x, y, z) = x + y + z. Nuestra restricción si g (x) = 0.

Construimos polinomios de Lagrange
L (x, y, z, l) = f (x, y, z) + l * g (x, y, z).

Y maximizarlo, usando
N (L (x, y, z, l)) = 0 con respecto a x, y, z. Lo que te deja con el cálculo,
N (f (x, y, z)) = -l * N (g (x, y, z)) con respecto a x, y, z. Donde N es el operador de vector derivada parcial
.
Como el RHS de la ecuación anterior es simple, supongo que debería ser fácil para usted resolverlo ahora.