¿Por qué las matemáticas no pueden explicar la paradoja de Zenón?

Lea una de las paradojas aquí: la paradoja de Zenón de la tortuga y Aquiles
Básicamente, las tres paradojas giran en torno a la suposición de que el tiempo y el espacio pueden dividirse en partes / intervalos infinitesimales o que el tiempo está compuesto de instantes.
Por nuestra experiencia, sabemos que la conclusión de Aquiles y la tortuga y las paradojas de la dicotomía es incorrecta. La tarea es encontrar la trampa en el argumento presentado por Zeno.
Muchas personas afirman que, dado que la suma de una progresión geométrica convergente infinita es finita, por lo tanto, no hay ninguna paradoja en absoluto.
= 1
Sin embargo, la solución es falaz. La paradoja en ninguna parte afirma que el número infinito de pasos requiere tiempo infinito. Más bien, le preocupa más cómo podemos completar esos pasos infinitos independientemente del tiempo finito o infinito. El hecho de que los proponentes de la solución anterior ignoren es que el resultado anterior de la progresión geométrica infinita convergente no es exactamente igual a 1. En realidad es más pequeño que uno . El problema surge debido al hecho de que la fórmula para la suma de un GP infinito no es precisa, ya que se obtiene aplicando límites . Y sabemos que el límite no siempre da la solución exacta. De hecho, solo muestra que la solución real se acerca a la solución obtenida como la ‘N’ [el número de términos en la serie se acerca al infinito que].
Esto implicaría que Aquiles realmente nunca llega a la tortuga. Más bien, simplemente se acerca cada vez más a la tortuga [se acerca al límite] y nunca puede cruzarla. Por lo tanto, nuestra paradoja sigue sin resolverse.

La solución a cada paradoja radica en probar la falacia en los supuestos o en las conclusiones intermedias asociadas con ella.
Tengo mi propia solución para estas paradojas.
Como dije anteriormente, las tres paradojas giran en torno a la suposición de que podemos dividir el Tiempo y el espacio [longitud] en cualquier número de partes, por pequeñas que sean. Además, la paradoja de Arrow trata el tiempo como compuesto de instantes de tiempo.
Mi afirmación es que esta paradoja es una prueba contra ambos.
1] divisibilidad del tiempo y el espacio en cualquier magnitud deseable
2] El tiempo se compone de instantes.
El único resultado posible sigue siendo que el tiempo y el espacio están cuantizados .
Sí, el tiempo y el espacio consisten en pequeñas unidades discretas más allá de las cuales no puedes dividirlas.
Este es el único resultado posible después de la negación de los puntos anteriores [divisibilidad e instantes]. Además, esto también resuelve nuestra paradoja.
Aquí está la solución.
Estábamos en una situación en la que Aquiles se acerca cada vez más a las tortugas, ya que la brecha entre ellas se acerca a cero [pero no puede convertirse en cero].
Ahora, si aplicamos nuestra comprensión clásica y seguimos dividiendo el espacio [que se genera después de que Aquiles alcanza la posición anterior de la tortuga] y, por lo tanto, el tiempo [requerido para cubrir la brecha entre las posiciones anteriores], Aquiles nunca podrá cruzar La tortuga .
Pero, considere esta situación. Suponga que la magnitud cuantificada del espacio es 10e-100 [10 hasta el medidor de potencia -100 m] y la cuantización del tiempo es 10e-200 segundos.
Entonces Aquiles sigue acercándose más y más a la tortuga hasta que el espacio [espacio] entre ellos es menor que la cantidad de espacio o el tiempo requerido para viajar esa brecha es menor que la cantidad de espacio. Ahora Aquiles puede recorrer la brecha ya que el cuanto del espacio no puede dividirse más. Debe viajar el espacio cuántico mínimo que es mayor que la brecha entre ellos. De ahí el siguiente instante, AQUILLES ESTÁ ANTES DE LA TORTUGA viajando por los Quanta del espacio y el tiempo.
[Instantáneo no en el sentido de un instante adimensional sino el siguiente intervalo de tiempo cuántico. ya hemos refutado la teoría del tiempo instantánea adimensional a través de la paradoja]
[Los intervalos de Instant deben ocurrir posteriormente a medida que expira el intervalo anterior. Por lo tanto, “mágicamente” moviendo los átomos en la siguiente posición similar a la mini teletransportación sin realmente viajar la distancia entre las posiciones posteriores ]
Por lo tanto, Achilles se vio obligado a ir más allá de la tortuga al viajar a un cuántico que era mayor que la brecha entre él y la tortuga.
De ahí que la PARADOX SE RESUELVA. = D
Usando esta paradoja, no solo se demostró que nuestra comprensión clásica del tiempo y el espacio [divisibilidad e instantes del tiempo] es falaz, sino también cómo estas dos cantidades existen en las formas cuantizadas . Desafortunadamente, no tengo el conocimiento suficiente para reunir pruebas experimentales o matemáticas con respecto a esto, excepto la prueba analógica mencionada anteriormente.

Es extraño para mí que ninguna de las respuestas aquí realmente cubra todos los aspectos de este profundo problema. Estuve interesado en este tema por algún tiempo, así que resumiré:

Desde el punto de vista de la física, no hay problema, porque en física siempre suponemos que necesitamos al menos dos cantidades para definir el movimiento de algún objeto: posición y velocidad. Otra solución física para esto es que el espacio y el tiempo están cuantizados, la mayoría de las personas ya los mencionó aquí, por lo que no repetiré. Sin embargo, tenga en cuenta que esos últimos enfoques todavía no se han probado experimentalmente, solo teorías / modelos de juguetes.

Sin embargo, para las matemáticas, hasta hoy en día, ¡esos problemas son un problema importante en su base! Se eleva debido a problemas al marcar con cantidades infinitamente pequeñas, como en los límites y la diferenciación. Si bien esto generalmente se considera bien definido por los criterios de Cauchy, etc., no todos los matemáticos están de acuerdo en eso (si no eres nuevo en esto, sugiero leer esta buena respuesta La respuesta de Edward Cherlin a ¿Por qué Bertrand Russell creía que los infinitesimales eran matemáticamente inútiles?) .

En realidad, son una de las razones de lo que actualmente se llama la base de las crisis de las matemáticas , incluso causó una división en la comunidad matemática en dos grupos principales, “intuicionistas” (según ellos, no hay problema, y ​​las paradojas de Zenón son solo un concepto erróneo , como todas las personas afirmaron aquí, sí, esta es una corriente principal). Y los “fundamentalistas”, consideran que hay un problema muy serio en la base de las matemáticas (cantidades infinitamente pequeñas, simplemente están equivocadas según ellos, mientras que consideran que los infinitos grandes están bien basados).

Así que incluso propusieron muchas modificaciones a lo que se llama axiomas ZFC (según los cuales se construye el cálculo “habitual” moderno), en particular, los muchos problemas relacionados con el axioma de elección. Además, fue la razón para establecer un campo completamente nuevo que ahora se llama Análisis no estándar (introducido primero por Nilson, si no recuerdo mal). Y es una de las formas de resolver las paradojas de Zenón, mediante la introducción de una entidad matemática, pero no medible, llamada mónada , solo se puede medir la suma infinita de mónadas, en el sentido de que puede representarse mediante números reales.

No entraré en detalles, porque generalmente cualquier problema relacionado con los fundamentos de la ciencia, es bastante abstracto, técnico y muy complejo (aún interesante). Un artículo muy bueno y fácil de leer sobre esto, había sido publicado en la revista “Scientific American” en noviembre de 1994 “Resolviendo las paradojas de Zenón” [1] (desafortunadamente, no es un artículo de acceso libre).

Si está interesado, solo busque en Google las palabras clave que enfaticé. Pero el punto principal es, hasta ahora, y después de 2500 años, no hay acuerdo en que esas paradojas se resuelvan en matemáticas.

Notas al pie

[1] Resolviendo las paradojas de Zenón

Porque solo la física puede. El problema de la paradoja de Zenón está estrechamente relacionado con la naturaleza del tiempo, algo sobre lo que la matemática pura no tiene voz, mientras que la física sí.

El verdadero dilema en la paradoja de Zenón: la inconsistencia lógica del movimiento continuo

La paradoja de Zenón es un problema sorprendente e intrigante, y muchas personas dicen que se ha “resuelto” por el hecho de que la suma de todos los elementos de una serie geométrica convergente infinita es finita y la noción de que mientras la distancia se reduce a la mitad en el proceso, el tiempo que toma viajar esa distancia también se reduce a la mitad, por lo tanto, si toma las sumas convergentes, todavía tomará una cantidad limitada de tiempo para llegar al punto, por lo que no hay paradoja aquí. Y aunque estoy de acuerdo con esto, no resuelve el problema por completo.

Creo que su descripción del problema es incompleta y, por lo tanto, las respuestas se centran en la parte de sumas convergentes. Si bien la paradoja de Zenón se expresó originalmente de esa manera, su descripción no hizo justicia al comunicar el punto más fundamental sobre cuál es realmente la paradoja de Zenón. Este punto no se ha expresado explícitamente cuando las personas están definiendo la paradoja de la manera habitual.

Bien, para enfrentar la paradoja de Zeno de frente, voy a decirlo de manera diferente, sin hablar de fracciones y series convergentes. Ninguna.

Entonces, primero, ¿cómo definimos “movimiento en el espacio”? Bueno, a los fines de la discusión, nos centraremos en el movimiento lineal , como lo hizo Zeno, por simplicidad. Podemos definirlo formalmente como “el cambio del conjunto de coordenadas espaciales asignadas al objeto” o, más simplemente, “cambios secuenciales de posición”.

Ahora, es intuitivo que los seres humanos comunes asuman que el movimiento ocurre continuamente . El movimiento continuo puede describirse, nuevamente, en aras de la discusión, de esta manera: si un objeto cambió su posición de la región A a B, entonces, en el proceso de ese cambio, ha pasado por pasos intermedios de cambios de posición que involucran todo el conjunto posible de posiciones (conjunto de coordenadas espaciales) entre A y B. Sin “saltos”. Y ese posible conjunto intermedio de posiciones por el que pasó el objeto es infinito, lo que, si uno etiqueta cada posición con un número, implicará muchísimos números reales. Ahora, para simplificar, imaginemos el movimiento de un punto a través de una recta numérica 1D. El movimiento del punto de 1 a 2 es continuo si y solo si el punto “atraviesa” todos y cada uno de los números posibles entre 1 y 2. Y nuevamente, esos puntos son infinitamente infinitos e involucran muchos números reales, incluidos los irracionales.

Ahora, aquí está la parte divertida y jugosa: ¿ es lógicamente consistente el concepto de movimiento continuo?

Bien, entonces, como notaron, el proceso de movimiento (o cambios de coordenadas espaciales) de la región A a B comienza y termina: el proceso llega a un punto donde está “terminado” – cuando el objeto alcanza la región A a B.

El movimiento continuo solo está cambiando la posición actual del punto (número asignado a él) en otra posición “infinitamente consecutiva”. Este proceso de cambios de posición estará compuesto por un número infinito de pasos. En la conversación informal, en movimiento continuo, tratamos de “contar” a través de todos y cada uno de los números entre 1 y 2, sin perder nada. Ahora, si lo pensamos bien, el proceso de “contar” todos y cada uno de los elementos en posición cambia en un conjunto infinito , es absurdo suponer que llegarías al final. ¿Cómo exactamente un proceso compuesto de pasos infinitos alcanzará un “final”? Si bien el conjunto incontable de elementos entre 1 y 2 es infinito tiene un principio y un final, es dudoso que el proceso de pasos infinitos de posición continua cambie al “contar” a través de todos y cada uno de los números reales posibles de 1 a 2 tendría un principio y fin Esto se debe a que el proceso gradual de cambios de posición o “conteo” requiere que se enumeren todos y cada uno de los elementos, y que un elemento se transforme en otro elemento “infinitamente consecutivo” que muestra el cambio. Al “enumerar” todos los números reales entre 1 y 2, no llegaremos al final. Y esta es la paradoja: si bien sabemos que el proceso de movimiento tiene un punto final bien definido, el proceso no puede terminar . La paradoja también demuestra que el concepto de cambio continuo es lógicamente inconsistente.

Ahora, uno podría argumentar que el concepto de límites en el cálculo aborda esto. Se podría calcular el área de una región con un límite curvo ajustando primero un número arbitrario de rectángulos dentro de la figura y luego derivar la fórmula para el área total de esos rectángulos. Podríamos agregar más rectángulos que son progresivamente más y más delgados, hasta el infinito, de modo que el área total de los rectángulos esté cada vez más cerca del área real de la figura. Al hacer esto, encontramos que la aproximación originalmente cruda se aproxima a una fórmula que define con precisión el área de la figura. Por lo tanto, podemos derivar la fórmula de este proceso, y eso representa un límite, un “fin” o el proceso de aproximación con pasos aparentemente infinitos. De la misma manera, el proceso de cambios continuos de posición, mientras toma pasos infinitos, se acercará a un límite, un “fin”.

El problema con esta afirmación es que mentalmente, en realidad no damos una cantidad infinita de pasos. Este proceso es solo un atajo: lo que realmente hacemos es derivar primero la fórmula cruda de los rectángulos, y luego, analizar numéricamente lo que sucede cuando sustituimos los valores progresivamente más altos por el no. de rectángulos. Luego, al intentar sustituir ese número finito de valores en orden creciente, podemos inferir la tendencia. De esta tendencia, podemos derivar la fórmula cuando el no. de rectángulos está en el infinito. En límites, podemos definir el punto final de un proceso de cálculo, pero eso no significa que podamos alcanzar ese punto final si pasamos por cada paso. Si bien podemos inferir mentalmente el punto final del proceso, si va a ocurrir un movimiento continuo, por lo que no es solo un concepto, en realidad necesitamos pasar por un número infinito de transformaciones de coordenadas y, por ese proceso, no estamos va a llegar al “fin”.

Sin embargo, tenga en cuenta que esto no nos dice que se necesita una cantidad infinita para que un objeto se mueva de un lugar a otro. Lo que nos dice la paradoja es que la noción de movimiento continuo que comienza en un punto y termina en otro es lógicamente inconsistente, ya que implica que terminará un proceso de pasos infinitos, lo que es lógicamente absurdo.

Entonces, para recapitular cómo la paradoja de Zeno se trata solo de la inconsistencia del movimiento continuo:

1. Si el movimiento continuo de un punto / región en el espacio a otro, entonces es posible que el proceso infinito escalonado de transformaciones de coordenadas llegue a su fin.
2. No es posible que el infinito proceso gradual de las transformaciones de coordenadas llegue a su fin.
3. Por lo tanto, el movimiento continuo no es posible.

(Esto es solo Modus Tollens, una forma de silogismo lógico).

Todos estos argumentos contra la continuidad también son aplicables al tiempo mismo. El movimiento continuo implica tanto los cambios continuos en el espacio como en el tiempo. Si bien mi extenso argumento es originalmente para el espacio, básicamente, el movimiento ocurre a través del tiempo. Entonces, a partir del argumento, se podría inferir que es imposible moverse de un instante a otro de manera continua.

Dos posibles soluciones a la paradoja de Zenón en física

Hay dos ideas de la física que pueden abordar la paradoja de Zeno:
1. Cuantización del espacio y el tiempo (inspirada en hipótesis de gravedad cuántica)
2. Teoría sin tiempo del tiempo (de la relatividad especial)

Cuantización del espacio y el tiempo : en la mecánica cuántica, un sistema físico específico no puede tener todos los valores de energía posibles: solo puede tomar ciertos valores discretos . La luz solo puede emitirse de tal manera que la cantidad de energía de la luz sea el múltiplo de hf ( h – constante de Planck. F – frecuencia de la luz). Esto es lo que es un fotón: la unidad más pequeña de energía luminosa. El nivel de energía del electrón alrededor del núcleo también es discreto.

Ahora, algunas personas, como un intento de unificar la relatividad general y la mecánica cuántica, algunos han sugerido que el espacio y el tiempo también son discretos de la misma manera: uno solo puede moverse a través de una distancia que es un múltiplo de cierta distancia mínima (llamada longitud de Planck , que es aproximadamente 1.6 x 10 ^ -35 metros), y los únicos intervalos de tiempo sensibles son aquellos que son, nuevamente, un múltiplo de algún intervalo de tiempo mínimo (tiempo de Planck , que es de aproximadamente 10 ^ -43 segundos). Y si este es el caso, entonces el número de pasos en los cambios de coordenadas involucrados en el movimiento será finito , y por lo tanto, es lógicamente sensato pensar que el proceso de movimiento puede llegar a un “fin”. La cuantificación resuelve resuelve la paradoja al afirmar que la suposición de Zenón de un espacio continuo es falsa y, por lo tanto, no es aplicable al mundo real (no hay movimiento continuo) y, por lo tanto, el movimiento en el mundo real no es lógicamente inconsistente.

Si bien esto parece ser una solución efectiva y definitiva, la mejor evidencia empírica de la nave espacial integral de la Agencia Espacial Europea (ESA), que es un observatorio de rayos gamma, implica que el espacio no se cuantifica a la longitud de Planck. Si el espacio-tiempo exhibe “granulosidad” (debido a la cuantización), entonces tendrán un efecto observable en la propagación de rayos gamma muy potentes en el espacio: su polarización (el eje y la dirección en la que oscila el campo eléctrico de la luz) ser retorcido Para poder medir este efecto con precisión, observaron los GRB (explosiones de rayos gamma), que, en un breve momento, son extremadamente brillantes y eclipsan a toda una galaxia. Según el sitio web:.

Algunas teorías sugieren que la naturaleza cuántica del espacio debería manifestarse en la ‘escala de Planck’: la minúscula 10 ^ -35 de un metro, donde un milímetro es 10 ^ -3 m.

Sin embargo, las observaciones de Integral son aproximadamente 10,000 veces más precisas que las anteriores y muestran que cualquier grano granular cuántico debe estar a un nivel de 10 ^ -48 mo menor.

Sin embargo, como puede ver, la posibilidad de que se cuantifique en longitudes más pequeñas aún no se ha descartado. Entonces, tal vez todavía hay esperanza para esta idea. Pero hay otra solución más contraintuitiva a la paradoja de Zenón.

Teoría sin tiempo del tiempo : Albert Einstein dijo una vez: “La distinción entre pasado, presente y futuro es solo una ilusión tercamente persistente”. ¿Qué significa esto? Bueno, implica que el futuro ya está predeterminado, mientras que el pasado realmente no se ha “evaporado de la existencia”. Y esta noción del tiempo está completamente en contra de nuestras intuiciones. Realmente “sentimos” que el tiempo fluye, que el pasado se fue y que el futuro aún no existe, y que el momento presente “se mueve”. Esta intuición es también la raíz de nuestra comprensión intuitiva de lo que es el “movimiento”: cambios continuos y secuenciales en la posición a medida que el tiempo “pasa”. (que es la raíz de la paradoja de Zenón de todos modos). Sin embargo, la relatividad especial revela que nuestra visión del tiempo, una teoría del tiempo “tensa” (pasado, presente y futuro son “tiempos”) es falsa y engañosa.

La equivalencia del pasado, presente y futuro es una implicación de uno de los conceptos fundamentales en la relatividad especial de Einstein: la relatividad de la simultaneidad. Esto significa que la secuencia de eventos no es invariable en todos los marcos de referencia. En algunos marcos de referencia, la secuencia es A sucedió antes que B. Para otros, todos los eventos ocurrieron simultáneamente. Esto tiene una consecuencia interesante (algunos podrían incluso decir inquietante): los eventos que ocurrieron en su “momento presente” no son necesariamente los mismos que sucedieron en el “momento presente” de los demás. Si Alice está dentro de una nave espacial que se mueve hacia la derecha y envió dos haces de luz a espejos equidistantes dentro, golpearán ambos simultáneamente, a Alice, por lo que, en un momento específico, ambos eventos están en el momento “presente” de Alice. Pero, para Bob, un observador externo que no se mueve con Alice, vería algo más: dado que la luz siempre se mueve en c, Bob vería que el rayo izquierdo golpearía primero el espejo, ya que el espejo izquierdo “se mueve hacia” el haz, mientras que el haz derecho golpearía más tarde, ya que el espejo derecho se aleja del haz. Entonces, en algún momento, el impacto de la viga izquierda fue relegado en el pasado de Bob, mientras que el impacto de la viga derecha todavía se anticipa en el futuro de Bob. Esto muestra que si está en un marco de referencia adecuado, su “destino” ya es un evento presente en ese marco de referencia. Lo que significa que el futuro ya estaba allí incluso antes de que sucediera , ya que es definible para otros marcos de referencia. Lo mismo pasa con el pasado. Es por eso que si el Sol desapareció repentinamente “hoy”, al menos según el observador cercano, dado que la información sobre los eventos en la luz tarda en viajar (unos 8,3 minutos), ese evento todavía está “en el futuro” para nosotros. Y si vemos que Betelgeuse murió en una explosión de supernova “hoy” (para nosotros), para aquellos alienígenas cercanos a Betelgeuse, ese evento catastrófico está enterrado 640 años atrás (está a 640 años luz de la Tierra).

Y así es la inspiración de la teoría del tiempo sin tiempo, que establece que: el pasado, el presente y el futuro simplemente “existen”, y ya están “expuestos”
en la línea de tiempo del universo. El “flujo del tiempo” es solo una ilusión; no hay momento “presente” que “se mueva”. Esto implica que el cambio, incluido el movimiento, es solo una ilusión: los objetos no se mueven a través del tiempo. Todo lo que hay son “marcos” estáticos de ese objeto, establecidos en la historia del Universo, donde cada marco es ligeramente diferente del marco anterior. Y si lo piensas bien, esta noción del tiempo resuelve la paradoja de Zenón por completo, al negar la posibilidad de movimiento en “movimiento continuo” . No hay necesidad de cambios de posición infinitesimales que estén compuestos por pasos infinitos, el objeto no se “mueve” a través del espacio y el tiempo, todo lo que existe es la secuencia estática y continua de eventos, presentada en la historia del Universo, y nada impide la naturaleza por tener una secuencia de eventos estática y continua.

Entonces, esa es una respuesta larga. Bueno, ¡bueno para ti si lo lees hasta el final! 😛

No te daré una conferencia sobre las presunciones de tu pregunta; mentes mucho mejores de las que ya he hecho tanto y mucho más. Pero aprovecharé la oportunidad para abordar POR QUÉ algunas personas podrían sentirse como tú.

La paradoja toma una cantidad finita, la distancia desde el corredor hasta la línea de meta, y la bifurca (divide entre dos) un número infinito de veces. Esto es posible porque la cantidad de distancia que se divide es siempre la mitad del resultado de la división anterior; puede dividir una cantidad finita un número infinito de veces si no le importa que el resultado sea indefinidamente más pequeño y más pequeño.

En términos más prácticos, el corredor “nunca” llega a la línea de meta porque cuando su distancia se reduce, también lo hace el tiempo que tarda en cubrir la distancia cada vez más pequeña.

Entonces, como dijiste, el “destino será ½, ¼, ⅛, y así sucesivamente”. Suficientemente cierto. Pero tenga en cuenta que el TIEMPO requerido para cubrir esa distancia TAMBIÉN SERÁ MÁS PEQUEÑO POR EL MISMO FACTOR.

El tiempo que toma cubrir la mitad de la distancia será la mitad del tiempo que el corredor necesita para llegar de principio a fin. Así como el tiempo que le toma al corredor cubrir la mitad de la distancia, la mitad es la mitad del tiempo, y así sucesivamente. Por lo tanto, no es como si el corredor nunca llegara a la línea de meta, solo que la paradoja le da menos tiempo para hacerlo cuanto más se acerca.

Las matemáticas pueden explicarlo perfectamente bien. Incluso sin series infinitas, es trivial mostrar que la confusión proviene básicamente de dar un significado diferente a la palabra “nunca”. Bueno, y luego actuando con aire de suficiencia.

Básicamente, lo que hace la paradoja es igualar la posición en una serie elegida arbitrariamente con el tiempo. ¿Por qué [matemáticas] \ frac12, \ frac14, \ frac18, … [/ matemáticas], y no [matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum _n \ frac {1} {n} [/ matemáticas] o simplemente [matemáticas] \ frac13, \ frac13, \ frac13 [/ matemáticas]? Porque el interlocutor lo deseaba. Entonces, la cosa tiene que funcionar independientemente de la serie elegida .

Si la elección de la serie no puede importar, lo mismo es cierto para la posición en ella. De modo que “nunca llegar a cero” cae en la misma categoría: se elige por diversión. Tiene aproximadamente la misma relación con el problema que reemplazar cada [matemática] 1 [/ matemática] con [matemática] \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- x} dx [/ matemática]. Es solo una cortina de humo para distraerlo lo suficiente como para no llamar a la mierda.

Ahora, ¿qué importa? Bueno, lo poco que la pregunta convenientemente deja de lado es que mover [matemáticas] \ frac {1} {4} [/ matemáticas] toma solo la mitad de tiempo que mover [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] . Lo que inmediatamente te da que la distancia por tiempo es constante, y un niño puede hacer los cálculos desde allí.

Pero vamos hasta el final. Viajar [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática] toma [matemática] \ frac {1} {4} t_0 [/ matemática], por una cantidad de tiempo arbitraria pero finita [matemática] t_0 [/ matemática] . Entonces, en total, movemos [matemática] d = \ sum \ frac {1} {2 ^ n} [/ matemática] con el tiempo [matemática] t = \ sum \ frac {1} {2 ^ n} t_0 [/ matemáticas]. ¿Cuánto tiempo nos lleva pasar de 0 a 1?

• Llamemos a esa distancia [math] d_z [/ math], y al tiempo [math] t_z [/ math].
• El tiempo empleado es obviamente [matemáticas] t_z = v ^ {- 1} d_z = \ frac {t} {d} d_z [/ matemáticas].
• Hagamos esto con un poco de miedo por una vez:

[matemáticas] v = \ frac {d} {t} = \ frac {\ sum \ frac {1} {2 ^ n}} {\ sum \ frac {1} {2 ^ n} t_0} = \ frac {\ sum \ frac {1} {2 ^ n}} {\ sum \ frac {1} {2 ^ n}} \ frac {1} {t_0} = \ frac {a} {a} \ frac {1} {t_0 } = \ frac {1} {t_0} \ qquad \ text {con} a: = \ sum \ frac {1} {2 ^ n} [/ math]

• Dios mío. ¡Una constante! Quien hubiera pensado eso?
• Oye, ¿qué tal si volvemos a enchufar eso? [matemáticas] t_z = v ^ {- 1} d_z = t_0 d_z = t_0 [/ matemáticas].
• Tiempo viajado: [matemáticas] t_0 [/ matemáticas]. Serie infinita resuelta: [matemática] 0 [/ matemática].

La paradoja depende de que la distancia sea infinitamente divisible, pero eso también implica lo mismo para el tiempo. La forma de dividir ambos depende de usted, ya sea que se lo ponga difícil o no, no cambia el resultado. Expresar una cantidad finita por una serie infinita es un juego de manos matemático, pero eso es todo.

¿Qué llevar a casa de esto? El hecho de que suene complicado no significa que sea complicado. Y hacer que suene complicado por el gusto de hacerlo significa que o lo hiciste antes de que fuera genial, o no deberías actuar engreído al respecto.

Espero que hayamos aprendido algo hoy.

Los matemáticos y los filósofos lucharon con esto durante un par de miles de años, pero la mayoría de los matemáticos desde Newton y Leibniz se sienten razonablemente satisfechos de que la teoría del límite, del cálculo, la haya resuelto.

Pero la solución no técnica (obtenida de una comprensión intuitiva de los principios del cálculo) podría expresarse de esta manera: todo se reduce a si considera que el tiempo es infinitamente divisible o no.

(Curiosamente, el cálculo supone que el tiempo y el espacio SON infinitamente divisibles, y por lo tanto “infinitamente granulares”, lo que significa lo mismo. Sin embargo, la mecánica cuántica sugiere que el tiempo y el espacio podrían no ser infinitamente divisibles).

Si el tiempo no es infinitamente divisible, entonces la paradoja no surge, porque los pasos infinitos durante el tiempo finito ni siquiera son físicamente posibles. Bajo esta visión “mecánica cuántica”, ocurre una especie de magia extraña a nivel cuántico que viola las suposiciones ocultas que Zeno hizo ingenuamente sobre el tiempo y el espacio.

Pero si el tiempo ES infinitamente divisible, entonces la solución es imaginar el tiempo como un pastel de crema. Lo divide por la mitad, luego divide una de las mitades, produce cuartos, divide uno de esos cuartos, produce octavos, etc., y así sucesivamente sin límite. Y si puedes hacer esto con la materia, deberías ser capaz, por analogía, de hacerlo con el tiempo. En consecuencia, puede tener un número infinito de duraciones de tiempo en, por ejemplo, 1 segundo. Cada duración de tiempo será positiva en longitud,> 0, pero si lo piensas como un pastel, no hay razón para que no puedas dividir un período de tiempo finito en un número infinito de subdivisiones.

Entonces … podrías tener un número infinito de duraciones de tiempo durante 1 segundo. Y, durante cada mini tiempo de duración, puede tener un evento, porque el espacio también es infinitamente divisible, por lo que puede moverse distancias cada vez más pequeñas. POR LO TANTO, puede, sin ninguna contradicción, tener un número infinito de microeventos en un tiempo finito.

Lo cual, si lo piensa, resuelve la paradoja.

¿Quién dice que no puede? Es perfectamente cromulento.

La hipótesis es:

Toma una distancia finita; diga “1”.
Divídelo por dos: mueve 1/2 de él.
Divídalo por dos nuevamente: mueva 1/4 de él.
Y 1/8, 1/16 y así sucesivamente.

La primera gran suposición :

La suposición es que puedes “continuar para siempre”.

Es decir, puede dividir su 1 en un número infinito de partes, cada una la mitad de grande que la anterior.

Entonces, su suposición inicial es que puede dividir algo finito en un número infinito de bits más pequeños.

En este caso, lo “finito” es una distancia .

La segunda gran suposición :

Ahora te dices a ti mismo: tengo un número infinito de distancias que hay que recorrer. Cada uno lleva una cantidad finita de tiempo.

Y aquí está el gran error:

“La suma de todos estos tiempos debe ser infinita”.

La resolución :

Pero si es posible sumar un número infinito de distancias para obtener una distancia finita , entonces debería ser posible sumar un número infinito de veces para obtener un tiempo finito.

Y allí se resuelve la paradoja.

Integrado en la pregunta hay una suposición no resuelta (e injustificada) de que al final de cada mitad de la distancia recorrida, el viajero tiene que detenerse para obtener un informe de progreso .

“Querida mamá, he viajado con éxito a la mitad de mi destino. Ojalá estuvieras aquí. Amor, Matthew”.

“Querida mamá, he viajado con éxito tres cuartos del camino a mi destino. ¡Debería estar allí pronto! Ojalá estuvieras aquí. Amor, Matthew”.

“Querida mamá, estoy llegando allí: he viajado con éxito siete octavos del camino a mi destino. Ojalá estuvieras aquí. Amor, Matthew”.

“Querida mamá, ¡tan cerca y tan lejos! He viajado con éxito quince semicorcheas hasta llegar a mi destino. Ojalá estuvieras aquí. Amor, Matthew”.

“Querida mamá, ¡ya debería estar allí! He viajado con éxito treinta y un treinta segundos del camino a mi destino. Si no me hubieras hecho prometer que escribiría una maldita postal cada vez que redujera a la mitad la distancia entre casa y allá, ¡habría estado allí hace mucho tiempo! Amor, Matthew “.

Hubo muchas buenas respuestas en este hilo, deseo agregar solo un commnet.

El núcleo de la paradoja de Zenón es la tensión entre el infinito potencial , nuestra capacidad de imaginar un cierto proceso o una secuencia que va para siempre, y el infinito real , que es un poco más complicado: nuestra capacidad de ver este proceso o secuencia como completado , y manipularlo como Un nuevo objeto . La paradoja de Zenón no termina con la suma de la serie.

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = 1; [/ matemáticas]

Lo que sigue es una de sus versiones más viciosas (lo discuto brevemente en mi artículo Estar en control, bit.ly/2d6Encg).

Imagine corredores en una carrera de relevos de

800 metros + 400 metros + 200 metros + 100 metros

(llamado relevo sueco ) popular a mediados del siglo XX; imagina que la carrera no se detiene después de 4 etapas y continúa

… + 50 metros + 25 metros + … etc.

¿Será cierto que los corredores nunca llegarán al final del cuarto círculo (un círculo es de 400 metros)?

Obviamente, una realidad sueca infinita es una versión de la paradoja de la flecha de Zenón. La suma de la progresión geométrica da una respuesta:

[matemáticas] 800 + 400 + 200 + 100 + 50 + 25 +… = 1600 = 4 \ veces 400: [/ matemáticas]

los corredores llegarán al final del cuarto círculo, y bastante rápido. Pero el verdadero problema comienza después del exitoso final de la carrera:

donde esta el baston

De hecho, todo el punto del relevo es que cada corredor pasa el testigo al corredor en el siguiente tramo. Una vez finalizada la carrera, cada corredor puede afirmar honestamente que ya no está en posesión del bastón porque se lo pasó al siguiente corredor.

Repito: ¿puedes explicar

donde esta el baston

Este es un enigma clásico de infinito potencial y real, requiere un tratamiento delicado. Recomendaría el papel

Silagadze, ZK (2005). Zeno se encuentra con la ciencia moderna, Acta Physica Polonica B 36 (10), 2887–2929.

para una discusión incisiva y detallada de esta y otras versiones de la paradoja de Zenón.

La paradoja de Zenón es fácil de explicar. Zenón ignoró el tiempo.

Para ilustrar esto, Aquiles puede correr un metro en un segundo. La tortuga tiene una ventaja de diez metros. La tortuga puede correr un metro en diez segundos.

La raza.

En diez segundos, Aquiles se ha corrido diez metros. La tortuga está un metro por delante.

En un segundo, Aquiles corre otro metro. La tortuga está a una décima de metro por delante.

En un segundo, Aquiles corre otro metro.

Aquiles ahora está por delante de la tortuga.

La paradoja ignora lo obvio: en el segundo que le tomó a Aquiles correr un metro, también corrió diez decímetros, cien centímetros, mil milímetros … etcétera, hasta el infinito.

Cuando se tiene en cuenta el tiempo, Aquiles gana.

En la antigua Grecia, en la época de Zenón, los filósofos no entendían bien el movimiento de un objeto a través del espacio. Todavía no habían entendido completamente la relación entre distancia, velocidad y tiempo. No fue sino hasta Galileo varios siglos después que tuvimos el avance intelectual: [matemáticas] s = \ frac d {t} [/ matemáticas]. Nunca hubo realmente ninguna necesidad de descomponer la distancia entre dos puntos a la mitad, a la mitad, etc., para comprender el movimiento a través del espacio. Usando la fórmula anterior, podemos calcular fácilmente el tiempo transcurrido dada la distancia desde el inicio hasta el final y la velocidad del objeto (suponiendo una velocidad constante).

“cada vez más pequeño pero nunca llegando a cero”

Y ahí radica el quid de la cuestión. Math dice que la secuencia ½, ¼, ⅛ … nunca llega a cero, pero tiene un ” límite ” de cero . EL LÍMITE es lo suficientemente bueno 😉 La secuencia finalmente se acerca tanto a cero que prácticamente (para todos los efectos prácticos) podría ser CERO. Por supuesto, las palabras “eventualmente” y “cerrar” entran en duda ahora, pero vamos, hombre. ¿Qué tan cerca quieres llegar? El denominador es siempre una potencia de 2. Llamemos al exponente “N”. Puedo hacer que las fracciones de esa secuencia se vuelvan super duper pequeñas eligiendo N super duper big.

¿Qué crees que es pequeño / cercano a cero? ¿Qué considera pequeño su cónyuge? Si le preguntara a sus vecinos qué creían que era pequeño, ¿se sorprendería si fuera mucho más pequeño de lo que consideraba increíblemente cercano a cero?

” El límite de ½, ¼, ⅛, … es cero ” dice que, para la idea numérica de NADIE de pequeño, siempre puedo elegir N para mostrar que algo en esa secuencia es MÁS PEQUEÑO.
Por lo tanto, no nos preocupemos por los problemas conceptuales de continuidad planteados por la paradoja de Zenón. De hecho, podemos salir de la habitación en la que estamos aunque no podamos hacer la distancia a la puerta = cero. Podemos acercarnos tanto como queramos a la puerta sin convertirnos en la ubicación de la puerta, y eso es lo suficientemente bueno como para salir. 🙂

Math utiliza un vacío legal formalmente definido para evitar la controversia de la paradoja de Zenón. Por lo que puedo decir, explicar la paradoja de Zenón simplemente deja a una persona con una mejor comprensión de la paradoja, lo que hace que el movimiento sea imposible o que el espacio-tiempo sea irreal. Es difícil escapar, y nunca se ha resuelto. Y tiene que ver con la forma en que los humanos construimos mentalmente nuestros mapas cognitivos del mundo (que es todo con lo que realmente interactuamos). En términos simplistas, una declaración es verdadera o no. Una línea / espacio es continuo o no lo es. La capacidad de generar entendimientos usando tal dicotomía parece un talento lingüístico evolucionado naturalmente en el cerebro humano. Y Zeno utiliza esta bipolaridad intelectual de los conjuntos de habilidades de pensamiento humano para plantear su paradoja.

La matemática se ocupa de la paradoja de Zenón mediante el uso de un concepto en cálculo llamado: “la idea de un límite”.

Ahora, cuando se trata de modelar la realidad, las matemáticas a menudo usan “la recta numérica REAL”, que es una entidad continua (infinitamente divisible). El buen loco religioso y co-inventor de Cálculo, Isaac Newton, trató (en su mayor parte) el espacio-tiempo como algo que tiene continuidad. Esto funciona muy bien para “predecir” cosas en el mundo macro. (Cosas como el movimiento de los puntos de luz en el cielo nocturno)

Por supuesto, Zeno dice que esto lleva al movimiento a ser una ilusión o imposibilidad, ya que el espacio-tiempo continuo significa que nunca podemos salir de la habitación en la que estamos porque viajamos la mitad de la distancia hasta la puerta, y después de ir tan lejos, tenemos la mitad de la distancia restante aún por recorrer.

MATH tiene una maniobra ingeniosa que nos permite justificar nuestro uso de una recta numérica continua al modelar el mundo.
Si bien la distancia a la puerta nunca se hace cero, se acerca a cero. ¿Qué tan cerca (la secuencia: 1, ½, ¼, ⅛, …) llega a cero? Bueno, ahí es donde entra toda la legislación de “idea de un límite”.
Se acerca tanto a cero como quieras. Para cualquier idea de lo que significa “cerca” o “cerca”, podemos encontrar un número en esa secuencia que sea MENOS que eso. Llamamos a eso un “Límite” y podemos trabajar con esa definición matemática / hocus-pocus para construir muchas recetas científicas.

Al menos, así es como mis profesores de matemáticas me enseñaron el concepto.

Esa es simple: ¡no tienen que hacerlo!

La teoría de los números infinitesimales es una teoría matemática abstracta sobre los números reales. No se aplica completamente en el mundo “real”.

Puede usarlo para describir algo en física (mundo real) como distancia, períodos de tiempo, peso, etc. pero en física no puede aplicar esta teoría por completo.

En Física usas unidades para describir cosas. 1km, 1m, 1h, 1kg, 1 $…. Esos son, por definición, nada infinito. Si no necesita 1 unidad de algo, utiliza subunidades mín., Segundos, metros, … -> Números de fracción. Pero no utiliza números para definir una fracción de $ infinitesimal. (Solo redondeas hacia arriba o hacia abajo)

Ver definiciones:

Kilogramo – Wikipedia

Historia del metro – Wikipedia

…

Aplicar una secuencia a una distancia no era la idea de un matemático. Zenón fue un filósofo. Y es por eso que los matemáticos no tienen que explicarlo …

No estoy seguro de si esta pregunta fue planteada por algún griego antiguo Rip Van Winkle que recientemente se despertó de una siesta muy larga, pero si es así: ¡buenas noticias! ¡Hemos progresado desde que te acostaste! Hemos inventado la imprenta y recientemente la hemos hecho prácticamente obsoleta con esta nueva cosa que usamos para videos de gatos y pornografía. Tenemos todo tipo de píldoras increíbles que lo hacen feliz, lo hacen dormirse o le dan erecciones, según sea necesario. Ah, y las matemáticas han avanzado MUCHO.

Claro, cuando se propuso originalmente, hace más de 2.000 años, los matemáticos de ese tiempo y lugar no podían explicarlo, pero. . . eso fue hace 2.000 años. No tenían cálculo y no lo harían por otro milenio y medio. Ni siquiera tenían álgebra. Eran REALMENTE buenos en geometría, pero estas herramientas matemáticas no eran suficientes para abordar este problema. Enviar

Con las matemáticas que tenemos hoy, ni siquiera es remotamente paradójico.

Oh, ahora que estás despierto, mira las cosas que hemos hecho con Electricidad. Bastante ordenado, ¿eh?

Este es un problema sutil y complejo que las matemáticas no pudieron resolver hasta que los fundamentos de lo que llamamos cálculo se pusieron en terreno firme. Aquí está la (1) Historia de Zenón, y (2) la Solución a su paradoja:

(1) Historia.
Zenón, de lo que hoy es Elea en el sur de Italia, fue un precursor de Sócrates (que murió en 399 a. C.) La paradoja de Zenón, basada en la conjetura de Arquímedes, refuta la posibilidad de movimiento al mostrar a Aquiles en una carrera con una tortuga. Cada vez que Aquiles cubre la mitad de la distancia, se toma una fotografía y se ve que la tortuga se ha movido hacia adelante de su posición anterior, quedando por delante de Aquiles. Dado que el número de veces que esta media distancia puede detenerse y medirse no tiene fin ni límite en el pensamiento griego en ese momento, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga; por lo tanto, el movimiento es imposible. Los filósofos de la época de Zenón, incluidos Sócrates y Aristóteles, no pudieron refutar la paradoja. Obviamente, la existencia diaria demostró que estaba equivocado, pero nadie pudo encontrar un error. Conocían la fuente de su problema: el infinito .

Zenón murió (fue torturado por un tirano llamado Demylus) pensando que su paradoja era verdadera, y en su escuela de filosofía Eleatic enseñó que todo en el universo era uno e inmutable; por lo tanto, el movimiento siguió siendo imposible para él, una conclusión respaldada por su paradoja de que nunca abandonó.

(2) Solución a su paradoja: “límites”

Pasarían más de mil años desde el tiempo de Zenón antes de que las herramientas matemáticas que implican límites responderían esta paradoja con éxito.
Las matemáticas de Newton que resultaron en el cálculo de hoy, como el de Leibniz, no podrían alcanzar su máximo poder sin introducir el infinito , o su cumplido, cero . Tanto Newton como Leibniz evitaron dividir por cero utilizando fluxiones y mónadas inventadas, respectivamente. Se dejó a un niño abandonado en los escalones de la iglesia de Saint Jean Baptiste le Rond en París (1717 CE) que se llamó a sí mismo D’Alembert, para introducir cero en el cálculo como una proporción de series que convergían en un límite . Esta tasa relativa de convergencia resolvió decisivamente, con rigor matemático completo, el enigma de la paradoja de Zenón. Zeno finalmente pudo RIP. 🙂

La física trata con hechos; y es un hecho que puede cubrir un espacio finito en un tiempo finito, y la Física llama a la razón entre estas medidas “velocidad”.

La matemática se ocupa de conceptos que existen solo en la mente humana; por lo tanto, las paradojas solo nos dicen que hay algo que la mente humana no puede resolver, no una noticia realmente sorprendente.

La flecha alcanzará el objetivo, y Aquiles alcanzará a la tortuga, ya sea que Zeno esté de acuerdo o no.

De hecho, la historia de Zenón y su paradoja es bastante interesante: esencialmente estaba luchando en una batalla de retaguardia en nombre de su maestro Parménides, cuyas ideas eran tan absurdas que la gente de la época comenzaba a burlarse de sus discípulos. que no puedes moverte, ya que solo existe un lugar en el universo, y que no puedes contar, ya que solo existe el número uno).

Zeno no podía hacer que Parménides pareciera correcto, por lo que se dispuso a mostrar que todos los demás también estaban equivocados: las paradojas son solo la parte más llamativa de su razonamiento, que en verdad era extremadamente inteligente y profundo.

Una lástima, de hecho, que lo usó solo en un sentido negativo: si hubiera hecho lo contrario, sería honrado hoy como el genio que vislumbró la cardinalidad del continuo, DOS MIL AÑOS antes de que Cantor lo probara formalmente.

Algunas de las principales respuestas aquí no abordan la redacción original de la “paradoja”, que ES más confusa que la forma en que el autor de la pregunta la ha enmarcado. Va como algo así:

Un hombre camina hacia una pared a una velocidad constante. En algún momento está a medio camino de la pared. Pronto está a tres cuartos del camino hacia la pared. Pronto tiene siete ochos de camino a la pared. Pronto tendrá quince dieciseisavos de camino al muro … A este ritmo, se acercará al muro para siempre, ¡pero nunca lo golpeará! ¡Pero él está caminando a una velocidad constante, así que debe golpear la pared! (De ahí la aparente “paradoja”).

La confusión se puede abordar fácilmente al notar que la redacción ralentiza el tiempo con cada “paso”. Si un hombre camina hacia una pared, pero el tiempo se está desacelerando a un ritmo creciente apropiado, entonces, naturalmente, el hombre “nunca” llegará a la pared, porque a medida que se acerca, ¡usted ha reducido el tiempo convenientemente más y más!

Estoy sorprendido por la cantidad de respuestas pensando que hay un problema aquí.

No hay problema y no requiere que nadie tome partido alguno con respecto a los sistemas axiomáticos o los infinitesimales o algún salto de fe con respecto al infinito.

Es realmente simple

Supongamos que Aquiles corre a una velocidad constante de 100 m por segundo y una tortuga bastante rápida se mueve a 50 m por segundo, pero tiene una ventaja de 50 m.

Entonces, en el primer medio segundo, Aquiles limita a la marca de 50 m donde estaba la tortuga. Pero ahora la tortuga se ha movido a 75m. En el siguiente cuarto de segundo, se limita a 75 m. Bien, hemos considerado los primeros 3/4 de segundo. En el siguiente octavo de segundo alcanza los 87.5 my hemos considerado 7/8 de segundo.

Y así. Si realiza un seguimiento de dónde está Aquiles y cuánto tiempo ha considerado , es simplemente obvio que nunca considerará el punto de tiempo 1s en el que Aquiles y la tortuga y el cuello y el cuello en la marca de cien metros y obvio que nunca lo hará. Obviamente nunca lo hará porque deliberadamente solo considera la mitad del tiempo restante en cada paso y no importa cuántas veces lo haga, no alcanzará 1s. Eso no requiere una noción de infinitesimales o límites o infinito.

Es fácil demostrar que para todos n el punto de tiempo considerado hasta es <1.

Ahora, si desea utilizar este método para mostrar que llegará a la tortuga en 1s, necesita un poco de tarea sobre el límite de una función continua, igualmente la función de su límite. Pero aún no necesita ninguna matemática sofisticada y necesita establecer una definición perfectamente viable de un límite que no es, como algunos piensan, un punto de vista filosófico. Solo son una herramienta útil que se puede definir y luego considerar.

Muchas personas le dirán que las matemáticas han explicado las paradojas, pero las descripciones que dan de las paradojas las civilizan, haciendo obvias las respuestas y no está claro por qué alguien pensaría que son interesantes. Tales tratamientos superficiales de la pregunta no son del todo satisfactorios. En cambio, te diré cuál es la versión de las paradojas ahora que se considera la más interesante. Este problema ha ido mucho más allá de Zeno, pero sus paradojas son el punto de partida. El problema se ha abordado en el tratamiento de ‘supertasks’, que es donde debe completar un número infinito de pasos distintos en un tiempo finito. Las series convergentes están muy bien, pero juzgan el límite infinito de una actividad: si extendieras la actividad al infinito, llegarías al límite. Por lo tanto, nos queda un problema diferente: si requiere una serie infinita de pasos distintos para realizar cualquier movimiento, ¿cómo podemos completar más de un movimiento? Esta es la pregunta sobre supertasks.

Vea esta descripción general del tema: Supertasks (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

El cálculo explica la paradoja de Zenón.

El error que comete Zeno es un malentendido del infinito. La paradoja (erróneamente) iguala el infinito de la procesión con el infinito de la división. Básicamente, siempre puedes dividir algo en partes cada vez más pequeñas, pero eso es un infinito “impuesto”. A diferencia de un infinito de procesión donde algo se procesa hasta el infinito (como la recta numérica).