Dado solo una regla marcada con longitudes racionales, y sin brújula, es posible construir un conjunto de segmentos de línea que no pueden tener longitudes racionales.
Dibuje dos líneas que se crucen en un punto con un ángulo desconocido [matemática] \ theta [/ matemática] entre ellas. Marque las unidades de puntos 1, 2, 3, etc. desde el vértice a lo largo de cada línea en cada dirección. Conecte estos puntos con segmentos de línea. Entonces, al menos uno de estos debe tener una longitud irracional.
La longitud del segmento que conecta el punto n desde el vértice en una línea ym desde el vértice en la otra línea es [matemática] \ sqrt {(n \ cos \ theta -m) ^ 2 + (n \ sin \ theta) ^ 2} [/ matemáticas]. Esto se simplifica a [math] \ sqrt {n ^ 2 -2nm \ cos \ theta + m ^ 2} [/ math]. Para que esto sea racional, [math] \ cos \ theta [/ math] debe ser racional, [math] p / q [/ math] para algunos relativamente primos py q.
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Suponga que [math] \ sqrt {n ^ 2 – 2nm \ frac {p} {q} + m ^ 2} [/ math] es racional para todos los enteros n y m. Luego, después de dividir entre m, [matemáticas] \ sqrt {\ bigg (\ frac {n} {m} \ bigg) ^ 2 – 2 \ frac {n} {m} \ frac {p} {q} + 1} [ / math] es un número entero para todos los racionales [math] \ frac {n} {m} [/ math]. Esto se puede expresar como [matemáticas] \ sqrt {\ bigg (\ frac {n} {m} – \ frac {p} {q} \ bigg) ^ 2 + 1 – \ bigg (\ frac {p} {q} \ bigg) ^ 2} [/ matemáticas]. Multiplicar por q conserva la racionalidad: [matemáticas] \ sqrt {\ bigg (\ frac {nq} {m} – p \ bigg) ^ 2 + q ^ 2-p ^ 2} [/ matemáticas] debe ser racional para todos los enteros positivos n, m. Establezca [math] r = \ frac {nq} {m} – p [/ math], un racional que podemos establecer arbitrariamente. [math] \ sqrt {r ^ 2 + q ^ 2 – p ^ 2} [/ math] debe ser racional para cualquier r racional.
Considere los casos donde r es un número entero. [matemáticas] r ^ 2 + q ^ 2-p ^ 2 [/ matemáticas] es un número entero, por lo que si la raíz cuadrada es racional, la raíz cuadrada debe ser un número entero. Elija r para ser un número entero con [matemáticas] 2r + 1> q ^ 2 – p ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] r ^ 2 <r ^ 2 + q ^ 2 – p ^ 2 <(r + 1) ^ 2 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] r ^ 2 + q ^ 2 – p ^ 2 [/ matemáticas] está entre dos cuadrados adyacentes, por lo tanto, no puede ser un cuadrado entero. Esto contradice la suposición de que todos los segmentos de línea tienen una longitud racional, por lo que podemos dibujar algunos segmentos de línea de longitud irracional.
