Pienso en un anillo de grupo R [G] como la colección de funciones con valores R definidas sobre elementos del grupo G. Por ejemplo, si R son números reales y G es Z / 11, entonces R [G] son todas las funciones con valores reales definido en 0, 1, 2,… 10. Puede trazar estas funciones si lo desea 🙂
Es similar en muchos aspectos a espacios vectoriales de funciones que podrían aprender en otros entornos, como el análisis funcional. Por ejemplo, puede agregar dos funciones f, g en el anillo de grupo de la forma habitual. Así f + g se define como (f + g) (3) = f (3) + g (3). Pero el bit extra en el anillo de grupo es que también puede multiplicar funciones, y en este caso, en lugar de ser una multiplicación de funciones por elementos, utiliza la estructura de
el grupo. Entonces, por ejemplo, si tuviéramos que multiplicar dos funciones
f (x) = 3 si x = 2, o 0 en caso contrario
por
g (x) = 7 si x = 4, o 0 de lo contrario,
obtendríamos la función
(f * g) (x) = 21 si x = 2 + 4 o 0 en caso contrario.
(Observe que 2 + 4 es la operación de grupo en Z / 11)
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Esta multiplicación también se llama convolución y es exactamente la misma convolución que aprendería en una clase sobre procesamiento de señales o análisis de Fourier, temas que surgen en muchas aplicaciones diferentes, desde el análisis del habla y el audio hasta la visión por computadora y el aprendizaje automático estadístico.
