¿Por qué el conjunto de Mandelbrot se ve hermoso, y hay una manera de plantear esa pregunta como una que las matemáticas puedan abordar?

Hay una muy buena razón por la cual el conjunto de Mandelbrot es hermoso y, curiosamente, podría señalar la ÚNICA forma en que las matemáticas pueden acercarse a la belleza estética. Dado que la belleza generalmente es estudiada por artistas y no por matemáticos, es difícil realizar dicho análisis matemático de manera significativa. Es más fácil decir que la belleza es una cuestión de opinión personal y alejarse. Eso es una lástima porque la belleza es principalmente algo en lo que todos estamos de acuerdo pero que no podemos explicar.

Los fractales son objetos que evolucionan. Dondequiera que mires un fractal, puedes ver cómo evoluciona desde ese punto. Se moverá y se ramificará. Puede explotar en pequeños islotes. Puede desplegarse, etc. Estas son formas muy naturales y la naturaleza hace lo mismo. Mira una hermosa flor o un árbol. Verá fácilmente las mismas formas que encuentra en los fractales. Los mismos cambios de color, las líneas que evolucionan maravillosamente.

Esto no es una coincidencia: los procesos que generan fractales son los mismos que los procesos que dan forma a la naturaleza. La pregunta: “¿es el universo fractal?” A menudo se hace por la simple razón de que los fractales son tan prevalentes en la naturaleza.

No definiré la belleza porque el margen no es lo suficientemente amplio, pero entre muchas cosas se refiere a las cosas que amamos. Evoca el reconocimiento y el recuerdo de las otras cosas que encontramos hermosas. Cuando miras los fractales, estás mirando tus orígenes, el mundo del que vienes. Estás mirando patrones que has aprendido a amar en la naturaleza.

Lo mismo es cierto para otros objetos matemáticos como las ecuaciones diferenciales. La naturaleza refleja y esto es con lo que estamos familiarizados y amamos.

Sorprendentemente, tal vez, la ingeniería humana no sigue estos patrones. Nos gusta construir cosas a partir de primitivas como círculos y líneas. Nuestras casas son cajas. Nuestras máquinas son colecciones de varillas y ruedas. Estas formas no existen en la naturaleza, solo por aproximación. Y gran parte de lo que creamos es feo.

Los matemáticos evitan la belleza y la fealdad. Eso es muy malo. Estoy bastante seguro de que podríamos desarrollar herramientas analíticas que puedan determinar la naturaleza fractal de los objetos y patrones reales y seleccionar las partes que son potencialmente hermosas sin “necesitar” un humano para hacer esa evaluación primero. A los artistas, filósofos e incluso algunos matemáticos no les gustaría esto más de lo que les gustó cuando los físicos explicaron el arcoíris. Pero ese es el camino del mundo: la evolución de la comprensión también es un fractal.

Esta es una muy buena pregunta, pero no creo que haya una respuesta matemática. Estoy de acuerdo con el usuario de Quora en que no hay nada místico sobre el conjunto de Mandelbrot, pero me asombra su negación rotunda de que sea de alguna manera especial. No conozco ningún otro objeto matemático que tenga la misma combinación de propiedades geniales:

  • Definición muy simple
  • Sin aleatoriedad o seudoaleatoriedad
  • Mucha auto similitud pero en ninguna parte lo mismo .

Estas propiedades lo hacen fascinante para explorar.

Parece ser una propiedad de la mente humana que nos interesan más los objetos que están en el límite entre la estructura y el caos. Si solo hay una estructura, entonces resolvemos esa estructura y nos aburrimos después de eso. Si solo hay caos, entonces el objeto no tiene sentido (“ruido blanco”) y también nos aburrimos. Entonces, todas las cosas que permanecen interesantes por mucho tiempo deben estar en algún punto intermedio entre estos dos extremos.

En el caso del mandelbrot, existe una definición muy simple con consecuencias muy impredecibles. No podía adivinar cómo se ve el Mandelbrot, realmente tiene que trazarlo y explorarlo antes de tener una idea de las consecuencias de esta simple regla. Entonces, aparentemente, estas consecuencias tienen la combinación correcta de estructura y caos: sigues descubriendo nuevas estructuras, pero nunca se vuelve completamente predecible.

Hay muchos otros ejemplos de complejidad emergente y el interesante equilibrio entre orden y caos. Me vienen a la mente dos ejemplos diferentes pero similares: las fichas de Penrose y el juego de la vida de Conway. Échales un vistazo si te interesa la complejidad emergente sin aleatoriedad.

He pensado mucho sobre este mismo tema. Entonces esta es mi conclusión muy tentativa:

Creo que hay algo fundamental, estéticamente innatamente agradable sobre la yuxtaposición de detalles pequeños e intrincados junto con grandes áreas de gradientes suaves o colores planos.

Llamémoslo mi, “teoría del arte de yuxtaposición de detalles y gradientes”. Solo rollos de la lengua, ¿no? 🙂

Pero realmente creo que eso es lo que es la belleza.

Y los fractales son perfectamente adecuados para crear este tipo de efecto. El punto de ellos es que son interesantes en diferentes escalas.

Y creo que eso es lo que hace que el M-Set sea tan atractivo. Y en realidad, los gradientes suaves allí son en realidad solo un poco un truco matemático, ya que los colores deben estar en bandas discretas.

Has caído presa de las matemáticas populares, el hijo bastardo gelatinoso, arrogante y arrogante de YouTube y Reddit. Pon suficientes colores bonitos detrás de un gráfico fractal y las masas sucias lo colmarán de compartidos, me gusta y vistas. Su falsa educación no tiene sentido, ¡pero no necesita quedar atrapado! No se deje engañar por la máquina de publicidad de clickbaiting. El conjunto de Mandelbrot es como los dígitos de pi, o la proporción áurea. Simplemente no son tan interesantes como otros te harían creer. El conjunto de Mandelbrot se ve hermoso porque los seres humanos disfrutan de la simetría. Eso es todo. Ve y sé cauteloso con los siniestros planes de Ewe’Toobe y Rhed’Iyt, porque son astutos y siempre están listos para llenarte la cabeza de no verdades.

Podría tocar un acorde si esa es también la estructura del Universo; similar a la armonía que sentimos al escuchar el océano porque esa vez estuvo en casa.