No es posible que una función con salidas complejas sea convexa, por la razón que Paul ha declarado. Pero es completamente posible que las funciones que aceptan entradas complejas sean convexas.
Por ejemplo, cualquier norma de un espacio vectorial complejo es convexa. Por ejemplo:
- la norma euclidiana [matemáticas] \ | x \ | _2 \ triangleq \ sqrt {x ^ H x} [/ matemáticas]
- la [matemática] \ ell_1 [/ matemática] o la norma de Manhattan [matemática] \ | x \ | _1 \ triangleq \ sum_ {i = 1} ^ n | x_i | [/ matemática]
- la norma de pico [matemáticas] \ | x \ | _ \ infty \ triangleq \ max_i | x_i | [/ matemáticas]
Cada uno de estos tiene interpretaciones significativas y útiles para vectores complejos, y cada uno es convexo.
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Para un ejemplo más complejo, la siguiente función de matrices complejas es convexa:
[matemáticas] \ lambda: \ mathbb {C} ^ {n \ veces n} \ rightarrow \ R, ~ \ lambda (X) = \ sup_ {v \ in \ mathbb {C} ^ n, v \ neq 0} v ^ HXv / v ^ H v [/ matemáticas]
Si [math] X [/ math] es Hermitian, entonces [math] \ lambda (X) [/ math] es el valor propio máximo de esa matriz.
Tenga en cuenta, por supuesto, que en todos estos casos, los resultados son reales; Son las entradas las que son complejas.
