Creo que el punto de su pregunta es cuál es el punto de partida. Yo diría que es curiosidad y una sensación de que algo anda mal o no está lo suficientemente claro. Déjame darte algunos ejemplos:
- El teorema fundamental del álgebra establece que cada polinomio con coeficientes complejos puede factorizarse en factor elemental correspondiente a sus raíces complejas. ¿Qué sucede en el caso no conmutativo? Resulta que en el caso genérico hay n! factorizaciones Consulte Desde factorizaciones de polinomios no conmutativos hasta topología combinatoria para obtener más detalles.
- El álgebra de Semisimple Lie se clasificó hace mucho tiempo. Entonces, el tema parecía cerrado. ¡Pero no! ¿Qué sucede en el caso de dimensión infinita? Este es el tema del álgebra de Kac-Moody.
La cuestión es que casi ninguna obra es final y termina una historia. Siempre hay más trabajos que deben hacerse. Ahora, ¿cómo se hace esto? Esta es la parte difícil, la que no se muestra al público. Aquí hay algunas pistas:
- ¿Qué hay de mirar en la dimensión 2? La ecuación cuadrática se conoce desde los tiempos de Babilonia. Tal vez podamos redondear el caso no conmutativo en una hoja de papel y el caso general de un polinomio no conmutativo seguirá fácilmente.
- Mirando la literatura. Esto puede estar mirando a la física. A veces, las nociones se introducen por primera vez en física.
- Resolver por computadora casos específicos por enumeración brutal. Esto puede ayudar a tener una idea del caso general.
- Considerando una mayor generalización. A veces su problema es demasiado específico. Tener uno más grande aclararía algunas ideas.
No hay una regla general. Pero algunas cosas son comunes:
- ¿Qué es el gráfico de lemniscate r2 = cos2t?
- ¿Puedes explicar las matemáticas en una oración?
- ¿Las matemáticas de nivel superior son tan difíciles como dicen las películas y la gente?
- ¿De cuántas maneras puedo colorear las seis caras de un cubo con seis colores diferentes?
- ¿Qué tan rápido tendría que gotear un grifo para mantener a una persona promedio en sus necesidades de agua?
- Tener alguna idea de lo que hay que resolver. No necesariamente de la solución, pero cuál es el problema que intentamos resolver.
- Conocer problemas relacionados o más simples y las estrategias que funcionan para ellos.
- Tener mucha paciencia en la búsqueda.
