Cómo descomponer la fracción [matemática] \ displaystyle \ frac {1} {x (x ^ 2-1)} [/ matemática]

Pasos:

• Encuentra los factores del denominador.
  [matemáticas] \ displaystyle {x (x ^ 2-1) = x (x-1) (x + 1)} [/ matemáticas]
• Descomponga la expresión con los factores anteriores.
  [matemáticas] \ displaystyle {\ frac {1} {x (x ^ 2-1)} = \ frac {A} {x} + \ frac {B} {x-1} + \ frac {C} {x + 1}} [/ matemáticas]
• Determine los coeficientes de cada composición.
  Reescribe la expresión como
  [matemáticas] \ displaystyle {\ frac {A (x-1) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x-1)} {x (x-1) (x + 1)} \\ = \ frac {(A + B + C) x ^ 2 + (BC) x – (A + C)} {x (x-1) (x + 1)}} [/ math]
  Por lo tanto
  [matemáticas] A + B + C = 0, BC = 0, A = -1 [/ matemáticas]
  lo que significa
  [matemáticas] \ displaystyle {A = -1, B = \ frac {1} {2}, C = \ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

Conclusión:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {1} {x (x ^ 2-1)} = – \ frac {1} {x} + \ frac {1} {2 (x-1)} – \ frac {1 } {2 (x + 1)}} [/ matemáticas]

Notas:

• En el paso de determinación del coeficiente, sería más recomendable usar el método de Henry Smith, que es más simple para situaciones complejas.
• Si su denominador contiene múltiples raíces, como [math] (xa) ^ n, n \ in \ mathbb {N} [/ math], la descomposición contendrá la suma de los siguientes términos:
  [matemáticas] \ displaystyle {\ frac {A_1} {xa}, \ frac {A_2} {(xa) ^ 2}, \ cdots, \ frac {A_n} {(xa) ^ n}} [/ math]

Primer factor [matemática] x ^ 2-1 = (x + 1) (x-1) [/ matemática].

Entonces [math] \ frac {1} {x (x ^ 2-1)} = \ frac {1} {x (x-1) (x + 1)} [/ math].

Luego configure [matemáticas] \ frac {1} {x (x-1) (x + 1)} = \ frac {A} {x} + \ frac {B} {x-1} + \ frac {C} {x + 1} [/ matemáticas].

Multiplique por [matemática] x (x-1) (x + 1) [/ matemática] para borrar los denominadores y obtendrá [matemática] 1 = A (x-1) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x-1) [/ matemáticas]. Si [matemática] x = 0 [/ matemática], entonces [matemática] 1 = A (-1) (1) = – A [/ matemática], entonces [matemática] A = -1 [/ matemática]. Si [matemática] x = 1 [/ matemática], entonces [matemática] 1 = B (1) (2) [/ matemática], entonces [matemática] B = \ frac {1} {2} [/ matemática]. Si [matemática] x = -1 [/ matemática], entonces [matemática] 1 = C (-1) (- 2) [/ matemática], entonces [matemática] C = \ frac {1} {2} [/ matemática ]

Por lo tanto, [matemáticas] \ frac {1} {x (x-1) (x + 1)} = – \ frac {1} {x} + \ frac {1} {2 (x-1)} + \ frac {1} {2 (x + 1)} [/ matemáticas]

Busque el patrón [matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = (x + y) (xy) [/ matemáticas]. Este es fácilmente el patrón más común visto en los problemas de factorización, y debe aprender a reconocerlo al instante.

Por lo tanto, la fracción es [matemática] 1 \ sobre x (x + 1) (x-1) [/ matemática].

El denominador se factorizará como … x (x-1) (x + 1)

Ahora deja que la forma descompuesta sea
1 / (x (x-1) (x + 1)) = A / x + B / (x-1) + C / (x + 1) …… .. (i)
Tomando mcm de denominador en rhs
Obtenemos
1 / x (x-1) (x + 1) = (A (x-1) (x + 1) + B (x) (x + 1) + C (x) (x-1)) / x ( x-1) (x + 1)

Ahora compare el coeficiente de x ^ 2, x y el término constante en ambos lados del numerador, ya que el denominador es el mismo

U obtendrá el valor de A, B, C y los colocará en (i)

U obtendrá el resultado

Si alguien quiere resolver el problema utilizando métodos conocidos por un estudiante que ahora está aprendiendo sobre la descomposición de fracciones, envíeme un mensaje y le enviaré la solución … ¡CUALQUIERA! (Si no es obvio por qué me refiero a “métodos conocidos”, vea mis comentarios sobre el trabajo de Henry Smith).