¿Por qué son importantes las series de Fourier? ¿Hay aplicaciones de la vida real de la serie Fourier?

La serie de Fourier es un método matemático para representar [cualquier función] como una suma de seno y coseno.

• ¿Por qué el seno y el coseno son buenas funciones de representación?

La respuesta es : ¡el seno y el coseno son una función tan especial que su valor de amplitud está entre (1, -1)! y darle cualquier valor de – infinito a + infinito de manera fácil !; Muchas identidades, integrables y diferenciables que ayudan al ingeniero y matemático a resolver cualquier problema.

Muchos problemas en física implican vibraciones y oscilaciones. A menudo, el movimiento oscilatorio es simple (p. Ej., Pesos en resortes, péndulos, ondas armónicas, etc.) y puede representarse como funciones de seno único o coseno. Sin embargo, en muchos casos (electromagnetismo, conducción de calor, teoría cuántica, etc.) las formas de onda no son simples y, a diferencia de los senos y los cosenos, pueden ser difíciles de tratar analíticamente. Los métodos de cuatro fuentes nos brindan un conjunto de herramientas poderosas para representar cualquier función periódica como suma de senos y cosenos.

Estos problemas los puede encontrar cuando diseña un sistema como Mobile Communication Systems que lo ve hoy; Como ingeniero de telecomunicaciones, necesita ancho de banda infinito (BW) * si envía Square Pulse Wave. y eso no es posible porque no podemos hacer un medio de transferencia que puede contener un número infinito de datos … así que escapamos a la serie de Fourier para representar esta onda cuadrada como coseno y onda sinusoidal con los mismos datos [0,1] .

* (Ancho de banda se refiere a la capacidad de rendimiento de datos de cualquier canal de comunicación).

Como puede ver en esta figura, al aumentar el número de n, la serie de Fourier estará más cerca de este pulso rectangular:

pero puedes preguntar

• ¿Por qué las señales digitales (pulso rectangular, pulso cuadrado …) necesitan BW infinito?

La respuesta es : ¡las señales digitales (ej. Pulso rectangular) van de Vmin a Vmax en cero segundos! ¡Prácticamente eso no es posible! ¡El sistema necesita tiempo para cargar el condensador para almacenar datos [0,1]! entonces cualquier cosa (excepto cero) dividido por cero es infinito.

¡Has visto! ¡Por qué Joseph Fourier es genio! Esta aplicación como una de las mil aplicaciones ayuda a matemáticos, sistemas de control, ingenieros eléctricos, ingenieros mecánicos, física … etc.) en sus vidas.

• Si necesita más detalles sobre cómo simular series de Fourier en Matlab y LabVIEW, consulte mis documentos sobre la academia; Escribí el PDF en árabe, pero puedo descargar el archivo del proyecto desde los enlaces y la última página y probarlo.

Gracias por leer.

Mejores deseos

Ing. Tawfeeq Wael Amro, ingeniero de telecomunicaciones – Jordania

Los métodos de Fourier son definitivamente una herramienta de análisis ampliamente aplicada. Se utilizan en (probablemente) TODAS las áreas de procesamiento de señales (es decir, audio, imágenes, radar, sonar, cristalografía de rayos X, etc.). Se usan en muchos algoritmos computacionales que requieren convoluciones (vea la transformación rápida de Fourier) que no tienen nada que ver con las señales. Se usan en soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que se pueden usar para modelar casi cualquier cosa (ver Método espectral). El número de aplicaciones y campos tocados por los métodos de Fourier es tan grande que podría pasar horas escribiendo una lista que aún no sería exhaustiva.

Baste decir que vale la pena aprender las ideas en sí mismas simplemente porque son REALMENTE ordenadas. Pero a diferencia de muchas áreas de las matemáticas, una vez que aprende las ideas detrás de la serie Fourier, puede pasar toda una vida inventando nuevas aplicaciones.

¿Es importante la correlación? La correlación es determinar cuánto se parece algo a otra cosa. Nuestro cerebro hace esto todo el tiempo. Cuando busco algo, mi cerebro compara lo que mis ojos ven con lo que estoy buscando y, cuando encuentra una coincidencia razonable, dice, entiendo.

Análisis de Fourier = Correlación de una forma de onda con una serie de seno y cosenos. Esta correlación se expresa por la amplitud de cada uno de estos senos y cosenos. Matemáticamente, la integral de Fourier es literalmente cómo se calcula la correlación.

Entonces, el análisis de Fourier es solo un caso especial de correlación, es decir, expresar algo (una forma de onda) en términos de cosas que conocemos bien (senos y cosenos).

en la vida real hay aplicaciones ilimitadas, por lo que daré solo una: música. Mucha música está hecha con sintetizadores que suman senos y cosenos para crear sonidos interesantes. Mediante el análisis de Fourier, descubrimos cómo hacer sonidos de violín, piano, guitarra, lluvia y truenos, motores de aviones, etc.

Fourier inventó su serie para una aplicación de la vida real, encontrando soluciones de la ecuación del calor. Estas soluciones han tenido muchas aplicaciones en ingeniería.

Otro uso temprano fue modelar y predecir las mareas oceánicas.

Las series de Fourier se aplican a funciones periódicas, y una generalización es la transformación de Fourier para funciones generales. Utiliza la transformada discreta de Fourier cada vez que usas wifi.

La serie más peluda es una serie periódica. Que se utiliza principalmente para donotes cualquier tipo de formas de onda. Por ejemplo, si quiero grabar tu voz por un segundo diciendo algo, me encontrarán. Es una serie de Fourier. Lo cual puede verse más o menos así.

Voz = sin (x) + 1/10 sin (2x) + 1/100 sin (3x) …

Estas son algunas otras aplicaciones básicas de las series de Fourier en la vida diaria.

1. Procesamiento de señal . Puede ser la mejor aplicación del análisis de Fourier.
2. Teoría de la aproximación . Utilizamos series de Fourier para escribir una función como polinomio trigonométrico.
3. Teoría del control . La serie de funciones de Fourier en la ecuación diferencial a menudo da alguna predicción sobre el comportamiento de la solución de la ecuación diferencial. Son útiles para descubrir la dinámica de la solución.
4. Ecuación diferencial parcial . Lo usamos para resolver ecuaciones diferenciales parciales de orden superior por el método de separación de variables.

Hay tantos que simplemente lanzaré uno de los más comunes:

La modulación WiFi utiliza combinaciones ortogonales de amplitud y fase para codificar cada bit en una secuencia, e incluso deja espacio para datos redundantes para contrarrestar la pérdida debido al desvanecimiento, reflejos, múltiples rutas, etc. Todo esto se sintetiza en un motor DSP usando FFT y IFFT.

Sin Fourier, solo podríamos codificar datos como radios FM antiguas, y tendríamos que esperar 1 minuto para cargar esta página, o dejar la computadora portátil toda la noche descargando un solo video de Tube.

Los teléfonos usan una cantidad ridícula de trucos DSP para mantener una calidad de voz aceptable, incluida la deconvolución, reducción de ruido, compresión, cancelación de eco, ecualización, etc. Todo esto hecho por códec DSPS o FPGA que calculan Fourier millones de coeficientes de Fourier por segundo.

Si no se usara Fourier, las llamadas telefónicas sonarían como radios anteriores a la Segunda Guerra Mundial o incluso peor: las personas tendrían que hablar más alto cuanto más lejos llamaran, las llamadas serían interrumpidas por el ruido cada vez que la gente caminaba detrás de un árbol o alrededor de los automóviles porque de reflexiones.

Todo Internet utiliza transformaciones de Fourier de dominio espacial para manejar imágenes y videos. Todos los trucos de Photoshop y la transformación de video se basan en transformadas de Fourier. Sin Fourier, las imágenes aún se editarían en laboratorios fotográficos, con tijeras y lápiz de tinta, y los videos se verían como esos divertidos efectos psicodélicos de los años 70:

Análisis de frecuencia para uno. Determinar dónde se encuentran los armónicos en un proceso particular para poder, por ejemplo, diseñar una resonancia no deseada.

Cuando estaba diseñando sistemas de control de disparos basados ​​en barcos, necesitábamos una forma de compensar el comportamiento de un barco en el mar: la forma en que se balanceaba arriba y abajo y se movía de un lado a otro. Extrajimos seis parámetros: oleada, balanceo, elevación, guiñada, cabeceo y balanceo, y medimos cada uno a bordo de varios tipos de barcos en mares de diversas intensidades. Alimentamos la salida de nuestros transductores en un programa de análisis de Fourier y establecimos cuáles son las frecuencias y armónicos del movimiento de arriba a abajo, de lado a lado, etc., etc. Luego de hacer eso, pudimos construir una simulación para modelar el comportamiento de una clase particular de barco en un nivel particular de aspereza del mar para poder simular las condiciones bajo las cuales necesitábamos no solo diseñar nuestros servos para mantener el nivel de la pistola, pero también para compensar el movimiento absoluto de la pistola (principalmente) hacia arriba y hacia abajo, de modo que cuando disparamos la pistola conseguimos el número apropiado de balas a través de los botes.