Creo que debe abordar mejor su pregunta aquí, ya que la forma en que se presenta es bastante engañosa (al menos para mí).
En general, la fórmula de Euler viene dada por
e ^ ( i t) = cos t + i sen t
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cuando t es una variable real / angular (supongo que esto es lo que quisiste decir anteriormente)
El ( i t) en la fórmula mencionada aquí “puede considerarse, aunque no teóricamente correcto”, como un producto de la unidad imaginaria i y el número real, t. Con esto en mente, no hay diferencia en direccionar ( i t) como ( i * t) ya que ambos términos denotan un producto de la unidad imaginaria i y el número real t.
SIN EMBARGO , como ya se mencionó, la suposición de que ( i t) es simplemente un “producto” de la unidad imaginaria iy el número real t no es teóricamente correcto cuando se trata de la fórmula de Euler, aunque muchos suponen que sí. Esto se debe a que en la fórmula de Euler (arriba), cos t + i sen t define el significado completo de e ^ ( i t) (por supuesto, después de que esta fórmula haya demostrado cumplir con la Ley Exponencial y la regla de derivada para la función exponencial – el derivada de la función e ^ i t es siempre i e ^ ( i t) ).
En otras palabras, al usar esta fórmula probada, estamos convirtiendo una representación polar de un número complejo (en forma de cos t + i sen t) en su representación de potencia / exponencial (en forma de e ^ ( i t)) , que es mucho más corto y simple.
Matemáticamente, la fórmula de Euler es un caso especial de una función de valor complejo de una variable real / angular (en este caso t) , como se muestra en el siguiente diagrama (donde la variable real / angular se define por φ ):
Una analogía a esto sería mirar el LHS de la fórmula e ^ ( i t) como una “caja negra”. Puede imaginar que para cualquier entrada real que entre en el “cuadro negro” (en nuestro caso, t), la salida sería cos t + i sen t (el RHS de la fórmula). ¡Sí, tan simple como eso!
Entonces, para responder a su pregunta sobre el video de YouTube a las 22:49, no podemos ver e ^ ( i t) como simplemente e ^ ( i veces t), como tal. Por el contrario, siempre debemos observar la función completa y para cualquier valor real t, e ^ ( i t) debe calcularse utilizando su forma polar de cos t + i sen t (según la definición de Euler).
Esta regla prevalece con t = 0, por lo que
e ^ ( i 0) = cos 0 + i sen 0
= 1 + i 0 = 1.
Tenga en cuenta que casualmente esto produce los mismos resultados que e ^ ( i * 0), aunque este último es la forma incorrecta de hacerlo teóricamente.
Por supuesto, a estas alturas, también habrás notado que para t = π,
e ^ ( iπ ) = cos π + i sen π
= -1 + i 0 = -1
=> e ^ ( iπ ) + 1 = 0 → ¡Identidad de Euler!
Anexo: Habiendo mencionado lo anterior, también tenga en cuenta que la fórmula de Euler sigue siendo válida cuando t es un número complejo (los números reales son solo un subconjunto de números complejos, ℝ⊂ℂ, con una propiedad especial de tener su parte imaginaria como cero, en en este caso t = t + 0i).
