P1 1 está en N.
P2 Si x está en N, entonces su “sucesor” x ‘está en N.
P3 No hay x tal que x ‘= 1.
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P4 Si x no es 1, entonces hay ay en N tal que y ‘= x.
P5 Si S es un subconjunto de N, 1 está en S, y la implicación
(x en S => x ‘en S) se mantiene, entonces S = N.
Luego debe definir la suma de forma recursiva:
Def: Deje a y b en N. Si b = 1, defina a + b = a ‘
(usando P1 y P2). Si b no es 1, entonces c ‘= b, con c en N
(usando P4), y defina a + b = (a + c) ‘.
Entonces tienes que definir 2:
Def: 2 = 1 ‘
2 está en N por P1, P2 y la definición de 2.
Teorema: 1 + 1 = 2
Prueba: use la primera parte de la definición de + con a = b = 1.
Entonces 1 + 1 = 1 ‘= 2 QED
Nota: Existe una formulación alternativa de los Postulados de Peano que
reemplaza 1 con 0 en P1, P3, P4 y P5. Entonces tienes que cambiar el
definición de adición a esto:
Def: Deje a y b en N. Si b = 0, defina a + b = a.
Si b no es 0, entonces deje que c ‘= b, con c en N, y defina
a + b = (a + c) ‘.
También debe definir 1 = 0 ‘y 2 = 1’. Entonces la prueba de la
El teorema anterior es un poco diferente:
Prueba: use la segunda parte de la definición de + primero:
1 + 1 = (1 + 0) ‘
Ahora use la primera parte de la definición de + en la suma de
paréntesis: 1 + 1 = (1) ‘= 1’ = 2 QED
