De lo que estás hablando son las reglas de divisibilidad. Si tiene una base [math] b [/ math] y desea encontrar una regla de divisibilidad para un entero [math] n [/ math], entonces desea ver cómo [math] b \ mod n [/ math ] se comporta.
Déjame darte un ejemplo familiar. En la base 10, es relativamente fácil descubrir cuándo un número es divisible por 9. Esto se debe a que [matemática] 10 = 1 \ mod 9 [/ matemática], y así [matemática] a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 + \ ldots = a_0 + a_1 + a_2 + \ ldots \ mod 9 [/ math]. Es decir, si desea conocer el resto de un número mod 9, solo mire la suma de sus dígitos. En particular, un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus dígitos es.
Otro ejemplo: [matemática] 10 \ mod 2 = 0 [/ matemática], por lo tanto, [matemática] a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 + \ ldots = a_0 \ mod 2 [/ matemática]. Por lo tanto, un número escrito en la base 10 es divisible por 2 si y solo si el primer dígito es divisible por 2.
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Ahora, si desea averiguar las reglas de divisibilidad para la base 3, desea hacer el mismo análisis, pero ahora desea estudiar qué sucede con 3 módulos del entero deseado. Entonces, por ejemplo, [matemáticas] 3 = 1 \ mod 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] a_0 + 3a_1 + 3 ^ 2a_2 + \ ldots = a_0 + a_1 + a_2 + \ ldots \ mod 2 [/ math]. Por lo tanto, si desea saber si un número es divisible por 2, simplemente verifique la suma de sus dígitos en la base 3.
Un ejemplo más: [matemáticas] 3 \ mod 4 = -1 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] a_0 + 3a_1 + 3 ^ 2a_2 + 3 ^ 3a_3 + \ ldots = a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + \ ldots \ mod 2 [/ matemáticas]. Entonces, para verificar si un número entero es divisible por 4, observe la suma alterna de sus dígitos en la base 3. (Este es el análogo de la regla de divisibilidad para 11 en la base 10.)
