¿Cuál es el siguiente objeto matemático después de grupo, anillos y campos?

No creo que esta sea una pregunta sensata. ¿Por qué las estructuras algebraicas deben ser ‘ordenadas’ de alguna manera? ¿Porque los aprendiste en este orden en tus cursos? ¿Porque hay un functor olvidadizo que va de los campos a los anillos (conmutativos) y de los anillos a los grupos (abelianos)? ¿Dónde caen los semi-grupos? ¿Antes de los grupos? ¿Qué pasa con los grupos no abelianos o los anillos no conmutativos?

Si desea un objeto con más estructura algebraica que contenga campos, podría considerar k-álgebras. Un k-álgebra es un espacio k-vector que tiene un producto que lo convierte en un anillo que es k-lineal.

Si quiere saber qué mirar a continuación cuando haya aprendido un poco sobre grupos, anillos y campos en la práctica, terminará aprendiendo una estructura más detallada en casos específicos. Por ejemplo, puede estudiar muchos casos particulares aprendiendo un poco de teoría algebraica de números. En este contexto, el objeto de estudio es, en última instancia, el grupo absoluto de Galois de Q. Las extensiones algebraicas de Q se llaman ‘campos numéricos’ dentro de los cuales se puede obtener una gran cantidad de estructura adicional. Uno puede construir bonitos anillos llamados ‘anillos de enteros’ dentro de estas extensiones. Tienen números primos dentro de estos anillos cuyo ideal de intersección con los enteros estándar da primos tradicionales. Uno obtiene una acción del grupo de Galois sobre los números primos y los elementos del grupo de Galois de la extensión que fija un primo dado se llama ‘grupo de descomposición del primer p’ que le ofrece un grupo de grupos interesantes para estudiar. Al estudiar este caso particular, encontrará muchos teoremas más profundos y concretos que tienen toneladas de aplicaciones. Eche un vistazo al libro de Cassels y Frohlich o Serre sobre Campos locales para obtener más información.

Si estudias geometría algebraica, uno se encuentra explorando el caso especial de los anillos conmutativos con gran detalle. Aquí, los anillos polinómicos sirven como inspiración para una tonelada de teoría que relaciona la estructura ideal de los anillos conmutativos con la geometría de las variedades cortadas. Se obtiene un conocimiento detallado de las ideas sobre la dimensión de los anillos, el número de generadores, los métodos para construir anillos interesantes y las relaciones entre varios elementos. Agarra Atiyah-MacDonald para aprender más.

Si uno está interesado en la teoría de la representación, puede estudiar anillos no conmutativos y álgebras k. Uno pasa tiempo aprendiendo sobre álgebras matriciales con gran detalle, demostrando toneladas de descomposiciones explícitas y teoremas de estructura / clasificación. También se podría especializar en el caso de las álgebras de Lie sobre C para obtener aún más detalles. El libro de Alperin sobre teoría de grupos finitos o el libro de Serre sobre teoría de la representación ofrecen presentaciones maravillosas. El libro de Humphrey sobre las álgebras de Lie se centra más en el caso específico de las álgebras de Lie.

Los objetos algebraicos existen para un propósito. Realmente no hay un ‘próximo’ tanto como ‘esta aplicación se ve genial y necesita algo’. Estas criaturas existen para encontrar su camino hacia el ecosistema, por lo que preguntaría qué aplicación suena genial y aprendería los objetos que necesita en ese tema.

Los objetos algebraicos surgen de la necesidad, cuando el matemático necesita la abstracción o echa una mano a otros campos.