Usando algo como GeoGebra, trace la expresión [math] e ^ {ix} [/ math] para un conjunto completo de valores diferentes para [math] x [/ math]. Traza toneladas de ellos, una y otra vez. Encontrarás que todos terminan en el círculo de la unidad.
[math] e ^ {ix} [/ math] siempre corresponde al punto [math] (\ cos x, \ sin x) [/ math] en el círculo unitario. Es el número complejo [math] \ cos x + i \ sin x [/ math].
[matemática] e ^ i [/ matemática] corresponde a un radián, y [matemática] (e ^ i) ^ x [/ matemática] corresponde a una rotación de [matemática] x [/ matemática] radianes.
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[math] e ^ {i \ pi} [/ math] corresponde a una rotación de [math] \ pi [/ math] radianes. Dado que este es el número complejo [matemática] \ cos \ pi + i \ sin \ pi [/ matemática], [matemática] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemática].
Así es como puedes visualizarlo. Para justificar por qué esta identidad es realmente así, expanda [matemáticas] e ^ x = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {x} {n}) ^ n [/ matemáticas] usando el binomio de Newton, tome el límite de cada término, y obtendrá [matemáticas] e ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2 !} + \ frac {x ^ 3} {3!} +… [/ math]
Evalúa en [matemáticas] ix [/ matemáticas], y obtienes [matemáticas] 1 + ix- \ frac {x ^ 2} {2!} – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} +… [/ Matemáticas]
Al reorganizar los términos, terminas con las fórmulas de la serie para [math] \ cos [/ math] y [math] \ sin [/ math], entonces [math] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/matemáticas].
