Sí, puedes, pero no con esta definición de temperatura.
[matemáticas] dS = \ frac {dQ} {T} [/ matemáticas]
Debido a que [math] dQ [/ math] no es un diferencial exacto, esta definición de temperatura depende del proceso en consideración. Una mejor definición de la temperatura en términos de entropía (que no depende del proceso) es
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[matemáticas] \ frac {1} {T} = \ izquierda (\ frac {\ parcial S} {\ parcial U} \ derecha) _ {V, N} [/ matemática]
Es decir, es el inverso de la tasa de cambio de la entropía con respecto a la energía interna [matemáticas] U [/ matemáticas], cuando es constante el volumen [matemáticas] V [/ matemáticas] y el número de partículas [matemáticas] N [/ matemáticas]. Con esta definición y la ley de Boltzmann
[matemáticas] S (U, V, N) = k_B \, \ ln (W (U, V, N)) [/ matemáticas]
derivaremos la ley de los gases ideales. [matemáticas] W [/ matemáticas] es el número de microestados [matemáticas] (q_i, p_i) [/ matemáticas] ([matemáticas] q_i [/ matemáticas] las coordenadas de posición de todas las partículas y [matemáticas] p_i [/ matemáticas] sus momenta) para una energía dada [matemáticas] U [/ matemáticas], volumen [matemáticas] V [/ matemáticas] y un número fijo de partículas [matemáticas] N [/ matemáticas]. Como tenemos partículas [matemáticas] N [/ matemáticas], tenemos coordenadas de posición [matemáticas] 3N [/ matemáticas] y coordenadas momentáneas [matemáticas] 3N [/ matemáticas], por lo que el número que buscamos es
[matemáticas] W (U, V, N) = \ frac {1} {h ^ {3N}} \ int_ {H (q, p) = U} d ^ {3N} q \, d ^ {3N} \ , p [/ matemáticas]
Es decir, la suma de todos los estados [matemática] (q, p) [/ matemática] tal que [matemática] H (q, p) = U [/ matemática], es decir, la energía total es [matemática] U [ / math] (aquí [math] (q, p) [/ math] es una abreviatura de [math] (q_1, \ dots, q_ {3N}, p_1, \ dots, p_ {3N}) [/ math], [matemática] H [/ matemática] denota la función de energía del sistema, y h es una constante de normalización que coincide con la constante de Planck). Es posible demostrar que si [matemáticas] N [/ matemáticas] es lo suficientemente grande
[matemáticas] \ frac {1} {h ^ {3N}} \ int_ {H (q, p) = U} d ^ {3N} q \, d ^ {3N} \, p \ aprox [/ matemáticas]
[matemáticas] \ aprox \ frac {1} {h ^ {3N}} \ int_ {H (q, p) \ leq U} d ^ {3N} q \, d ^ {3N} \, p [/ matemáticas]
y calculamos el último. Ahora ponemos los supuestos del gas ideal, aquí las partículas no interactúan, por lo que su energía es solo cinética (no hay energía potencial). Entonces la función de energía es
[matemáticas] H (q, p) = \ sum_ {i = 1} ^ {3N} \ frac {p_i ^ 2} {2m_i} [/ matemáticas]
Asumimos que todas las partículas son iguales. Entonces [math] m_i = m [/ math] para todos [math] i [/ math], por lo tanto
[matemáticas] H (q, p) \ leq U \ iff \ sum_ {i = 1} p_i ^ 2 \ leq 2mU [/ matemáticas]
Ahora hagamos algunos cálculos
[matemáticas] \ frac {1} {h ^ {3N}} \ int_ {H (q, p) \ leq U} d ^ {3N} q \, d ^ {3N} \, p = [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {h ^ {3N}} \ int_ {H (p) \ leq U} d ^ {3N} qd ^ {3N} \, p = [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {h ^ {3N}} \ left (\ int_ {H (p) \ leq U} d ^ {3N} \, p \ right) \ left (\ int _ {\ text { todo lo posible q}} d ^ {3N} q \ right) [/ math]
Donde el último paso es porque [math] H [/ math] solo depende de [math] p [/ math], por lo que las variables [math] q [/ math] son libres y podemos extraerlas de la integral. Ya que
[matemáticas] \ int _ {\ text {todas posibles q}} d ^ {3N} q [/ matemáticas]
[matemáticas] \ prod_ {i = 1} ^ N \ int d ^ 3 q = [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ prod_ {i = 1} ^ NV = V ^ N [/ matemáticas]
Donde [math] V [/ math] es el volumen del sistema (la suma de las posibles posiciones de una sola partícula es el volumen). Ahora tenemos
[matemáticas] W (U, V, N) = \ frac {V ^ N} {h ^ {3N}} \ int_ {H (p) \ leq U} d ^ {3N} p = [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {V ^ N} {h ^ {3N}} \ int _ {\ left \ | p \ right \ | \ leq R} d ^ {3N} p [/ matemáticas]
Donde [matemática] R = 2mU [/ matemática] y [matemática] \ left \ | p \ right \ | = \ sum_ {i = 1} ^ {3N} p_i ^ 2 [/ math] es la norma euclidiana. Entonces este es un cálculo de volumen de una bola dimensional [matemática] 3N [/ matemática] con radio [matemática] R [/ matemática], hay una fórmula matemática bien conocida para eso en términos de la función Gamma (Volumen de un n- pelota)
[matemáticas] \ int _ {\ left \ | p \ right \ | \ leq R} d ^ {3N} p = \ frac {\ pi ^ {3N / 2}} {\ Gamma (\ frac {3N} {2} + 1)} R ^ {3N} [/ math]
Donde la función Gamma se define como
[matemáticas] \ Gamma (t) = \ int_0 ^ \ infty x ^ {t-1} e ^ {- x} \, dx
[/matemáticas]
Entonces obtenemos
[matemáticas] W (U, V, N) = \ frac {V ^ N \, (2mU) ^ {3N} \, \ pi ^ {3N / 2}} {h ^ {3N} \ Gamma (3N / 2 +1)} [/ matemáticas]
Entonces la entropía es
[matemáticas] S = k_B \ ln (W (U, V, N)) [/ matemáticas]
Podemos calcularlo explícitamente usando propiedades de logaritmos
[matemáticas] \ ln (x \, y) = \ ln (x) + \ ln (y) [/ matemáticas]
y la aproximación de Stirling para la función Gamma
[matemáticas] \ ln (\ Gamma (t + 1)) \ aprox t \ ln (t) – t [/ matemáticas]
si [math] t [/ math] es lo suficientemente grande (en este caso [math] t = \ frac {3N} {2} [/ math] eso es aproximadamente [math] 10 ^ {23} [/ math]). Llegamos a la expresión explícita
[matemáticas] S (U, V, N) = N \, k_B \ ln \ left (V \ left (\ frac {4 \ pi \, m \, U} {3 \, h ^ 2 \, N} \ derecha) ^ {3/2} \ derecha) + [/ matemáticas]
[matemáticas] + \ frac {3} {2} \, N \, k_B [/ matemáticas]
Poniendo [matemáticas] U [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] S, V, N [/ matemáticas]
[matemáticas] U (S, V, N) = \ left (\ frac {3h ^ 2} {4 \ pi m} \ right) \ frac {N} {V ^ {2/3}} \ exp \ left ( \ frac {2S} {3Nk_B} -1 \ right) [/ math]
Entonces la temperatura es
[matemática] T = \ frac {1} {\ izquierda (\ frac {\ parcial S} {\ parcial U} \ derecha) _ {V, N}} = [/ matemática]
[matemáticas] = \ izquierda (\ frac {\ parcial U} {\ parcial S} \ derecha) _ {V, N} = [/ matemática]
[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ frac {U} {N \, k_B} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica U = \ frac {3} {2} \, N \, k_B \, T [/ matemáticas]
Además, la presión se define como la negativa de la tasa de cambio de la energía con respecto al volumen cuando la entropía y el número de partículas son constantes.
[matemáticas] P = – \ izquierda (\ frac {\ parcial U} {\ parcial V} \ derecha) _ {S, N} [/ matemática]
Explicidad con nuestra fórmula para [matemáticas] U [/ matemáticas]
[matemáticas] P = \ frac {2} {3} \ frac {U} {V} [/ matemáticas]
Pero dedujimos que [matemáticas] U [/ matemáticas] es
[matemáticas] U = \ frac {3} {2} \, N \, k_B \, T [/ matemáticas]
así que finalmente tenemos
[matemáticas] P = \ frac {2} {3} \ frac {U} {V} = \ frac {N \, k_B \, T} {V} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica PV = N \, k_B \, T [/ matemáticas]
cuál es la ley de gas ideal que conocemos.
