Esta pregunta no está clara, ya que no es fácil evitar el uso de números complejos en muchas áreas de las matemáticas.
Los números complejos tienen una amplia variedad de aplicaciones, y tenemos muchas razones para estar interesados en ellas. Algunos son analíticos, algunos son algebraicos.
Suponga que desea determinar el radio de convergencia de las siguientes series de potencia:
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[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {e ^ x – 1} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} B_k \ frac {x ^ k} {k!} [/ math]
Dado que no hay una expresión obvia de los números de Bernoulli (los coeficientes [matemática] B_k [/ matemática]), podemos intentar hacer esto con la prueba de razón o con la prueba de raíz todo el día y no poder sacar nada. Sin embargo, la fórmula integral de Cauchy nos dice que el radio de convergencia de la serie de potencias de cualquier función meromórfica sobre algún punto es la distancia desde ese punto al polo más cercano de la función. Ahora, el problema se vuelve trivial: la serie de potencia se centra en [matemática] 0 [/ matemática], y el cero más cercano es [matemática] x = \ pm 2 \ pi i [/ matemática]. La distancia es [matemática] 2 \ pi [/ matemática], por lo que concluimos que este es el radio de convergencia de nuestra serie de potencias.
Tenga en cuenta que la serie de potencia fue realmente valorada, sin embargo, las técnicas analíticas complejas nos permitieron abordar el problema en un instante.
Otro hecho interesante y útil sobre los números complejos es que están cerrados algebraicamente. Lo que esto significa es que si toma algún polinomio [matemático] x ^ n + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + c_1 x + c_0 [/ matemático] donde el [matemático] c_i [/ matemáticas] son números complejos, su polinomio tendrá una raíz compleja. Esta propiedad es bastante difícil de alcanzar en muchos de los campos con los que estamos familiarizados, por ejemplo, el polinomio [matemático] X ^ 2 – 2 [/ matemático] no tiene raíces racionales a pesar de tener coeficientes enteros, y el polinomio [matemático] X ^ 2 + 1 [/ math] no tiene raíces reales.
Es posible que no encuentre esto interesante, pero en realidad es un resultado inmensamente profundo. Se podría pensar que el mismo truco funciona en los racionales. Al igual que unimos [matemática] i [/ matemática] como raíz de [matemática] X ^ 2 + 1 [/ matemática] a los números reales, puede pensar que podemos unir elementos a los racionales hasta que cada polinomio tenga raíces. El resultado no tan sorprendente es que esta idea no nos lleva muy lejos, porque alguna teoría de campo elemental muestra que necesitaríamos unir infinitos números nuevos a [math] \ mathbb {Q} [/ math] para esto plan para trabajar, no muy práctico, de hecho. En este sentido, podemos decir que [math] \ mathbb {R} [/ math] está casi algebraicamente cerrado: en un campo algebraicamente cerrado, los únicos polinomios irreducibles son polinomios lineales, mientras que en [math] \ mathbb {R} [/ matemática] hay cuadráticos irreductibles, pero ningún polinomio de grado superior a 2 es irreducible. En contraste, [math] \ mathbb {Q} [/ math] tiene polinomios irreducibles de grado arbitrario, de hecho, el polinomio [math] X ^ q – 2 [/ math] es irreducible en [math] \ mathbb {Q} [ / math] para cada [math] q \ geq 1 [/ math]. Debido a esto, es suficiente adjuntar un solo elemento a [math] \ mathbb {R} [/ math] para que obtengamos un campo algebraicamente cerrado, mientras que el mismo truco no funciona para los racionales.
¿Por qué debería importarnos esto? (¿aparte del hecho de que es un resultado interesante?) Bueno, a menudo necesitamos diagonalizar matrices en álgebra lineal, lo que es equivalente a resolver una ecuación polinómica con coeficientes en el mismo campo que las entradas de la matriz, y este resultado nos dice que Se garantiza que los valores propios (los números que aparecen en la matriz diagonal) son complejos si las entradas de la matriz son todos números complejos. En otras palabras, es un seguro que cada matriz sin valores propios repetidos se puede diagonalizar en [math] \ mathbb {C} [/ math]. Las matrices diagonales tienen propiedades extremadamente convenientes, por ejemplo, es mucho más fácil y computacionalmente eficiente encontrar sus poderes.
Entonces, ahí lo tienes: algunas razones para preocuparte por los números complejos. Hay muchos más, pero esta respuesta solo puede encuestar a muchos de ellos.
