Sabemos que la fuerza es la masa por la aceleración, y es proporcional a la distancia, por lo que tenemos:
[matemáticas] ma = -kx \ tag * {} [/ matemáticas]
Y la aceleración es la segunda derivada de la posición:
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[math] mx ” = – kx \ tag * {} [/ math]
Agregando [math] kx [/ math] a ambos lados:
[matemáticas] mx ” + kx = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
La ecuación característica [matemáticas] mt ^ 2 + k = 0 [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] t = \ pm \ sqrt {- \ frac {k} {m}} [/ matemáticas], por lo que la forma general es:
[matemáticas] x = c_1e ^ {\ sqrt {- \ dfrac {k} {m}}} + c_2e ^ {- \ sqrt {- \ dfrac {k} {m}}} = c_1 (\ cos {\ sqrt { \ dfrac {k} {m}} t} + i \ sin {\ sqrt {- \ dfrac {k} {m}} t}) + c_2 (\ cos {- \ sqrt {\ dfrac {k} {m} } t} + i \ sin {- \ sqrt {\ dfrac {k} {m}} t}) = c_3 \ cos {\ sqrt {\ dfrac {k} {m}} t} + c_4 \ sin {\ sqrt {\ dfrac {k} {m}} t} \ tag * {} [/ math]
Bueno, el período de la onda es [matemática] 2 \ pi [/ matemática] sobre la frecuencia, entonces:
[matemáticas] T = \ dfrac {2 \ pi} {\ sqrt {\ dfrac {k} {m}}} = 2 \ pi \ dfrac {\ sqrt {m}} {\ sqrt {k}} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {m} {k}} \ tag * {} [/ math]