¿Cómo se deriva la fórmula para el período [matemáticas] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} [/ matemáticas]?

Sabemos que la fuerza es la masa por la aceleración, y es proporcional a la distancia, por lo que tenemos:

[matemáticas] ma = -kx \ tag * {} [/ matemáticas]

Y la aceleración es la segunda derivada de la posición:

[math] mx ” = – kx \ tag * {} [/ math]

Agregando [math] kx [/ math] a ambos lados:

[matemáticas] mx ” + kx = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

La ecuación característica [matemáticas] mt ^ 2 + k = 0 [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] t = \ pm \ sqrt {- \ frac {k} {m}} [/ matemáticas], por lo que la forma general es:

[matemáticas] x = c_1e ^ {\ sqrt {- \ dfrac {k} {m}}} + c_2e ^ {- \ sqrt {- \ dfrac {k} {m}}} = c_1 (\ cos {\ sqrt { \ dfrac {k} {m}} t} + i \ sin {\ sqrt {- \ dfrac {k} {m}} t}) + c_2 (\ cos {- \ sqrt {\ dfrac {k} {m} } t} + i \ sin {- \ sqrt {\ dfrac {k} {m}} t}) = c_3 \ cos {\ sqrt {\ dfrac {k} {m}} t} + c_4 \ sin {\ sqrt {\ dfrac {k} {m}} t} \ tag * {} [/ math]

Bueno, el período de la onda es [matemática] 2 \ pi [/ matemática] sobre la frecuencia, entonces:

[matemáticas] T = \ dfrac {2 \ pi} {\ sqrt {\ dfrac {k} {m}}} = 2 \ pi \ dfrac {\ sqrt {m}} {\ sqrt {k}} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {m} {k}} \ tag * {} [/ math]

Quizás el enfoque más fácil es considerar lo siguiente:

El sistema oscilante en realidad está haciendo un movimiento circular uniforme visto desde otro ángulo.

Por ejemplo, si se trata de un sistema de masa de resorte en un piso horizontal, cuando lo ve en una vista superior, presume que en realidad lo está viendo experimentando un movimiento circular uniforme. De este modo,

[matemáticas] vT = 2 \ pi r [/ matemáticas]

Y de las cosas que has aprendido con tu movimiento circular uniforme:

[matemáticas] a = \ frac {v ^ 2} r [/ matemáticas]

[matemáticas] T = 2 \ pi \ frac rv [/ matemáticas]

[matemáticas] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {r ^ 2} {v ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac ra} [/ matemáticas]

Y de las cosas que has aprendido del sistema de masa primaveral:

[matemáticas] F = kx = ma [/ matemáticas]

(Aquí, [math] r = x [/ math], ya que lo viste en un ángulo diferente)

[matemáticas] \ frac ra = \ frac xa = \ frac mk [/ matemáticas]

(Álgebra básica aquí)

Entonces

[matemáticas] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac mk} [/ matemáticas]

Estoy bastante seguro de que este es el enfoque más fácil 🙂

Una imagen para mostrar cómo están relacionados:

EDITAR: Este no es un enfoque riguroso, ya que supone que el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple siguen un patrón similar. Para un enfoque más riguroso resolviendo ecuaciones diferenciales, busque ayuda de la respuesta de Deepthi Amarasuriya.

Este es un contexto estándar del libro de texto de física bajo el tema del movimiento armónico simple. Puede leer la siguiente página web:

Frecuencia natural

Un oscilador armónico simple 1-D, cuando se desplaza en una cantidad x dentro del límite elástico, busca volver a su equilibrio, la configuración de energía potencial de resorte mínima.

F = -kx da ma = – kx

Aquí mx ”= -kx donde x” es la segunda derivada del desplazamiento.

Podemos escribir esto como

x ”= – (omega ^ 2) x

Aquí omega ^ 2 = k / m o, equivalentemente, omega = sqrt (k / m); Todas las cantidades aquí son> 0.

Esta es la ecuación que rige el movimiento armónico simple 1-D con velocidad angular omega.

Como hay 2 * pi radianes por ciclo, la velocidad angular omega y la frecuencia angular f están relacionadas por omega = 2 * pi * f

Por lo tanto, 2 * pi * f = sqrt (k / m)

Como el tiempo para 1 ciclo, el período de oscilación es el inverso del no. de ciclos por segundo, es decir, f = 1 / T,

2 * pi * (1 / T) = sqrt (k / m)

Esto da T = 2 * pi * sqrt (m / k)