En cuanto a la definición de tensor, la respuesta de Sridhar Ramesh a ¿Cuál es la diferencia entre vector y tensor? lo captura perfectamente Una manera informal de pensar acerca de los productos tensoriales es considerar pares ordenados de vectores base en cualquier base elegida arbitrariamente de los espacios vectoriales cuyo producto tensor se va a tomar y tratar estos pares como la base de un nuevo espacio vectorial, es decir, el producto tensorial de Los dos espacios vectoriales originales. Los ‘tensores’, como comúnmente se hace referencia en física, son simplemente los elementos de los productos tensoriales de múltiples copias de un espacio vectorial y sus duales, nuevamente, como Sridhar Ramesh ha señalado en su respuesta.
La cuestión de si alguna cantidad es un tensor o no es una cuestión que surge predominantemente en física, ya que, en la mayoría de los casos, los tensores en las matemáticas lo son en virtud de la construcción. (Bueno, tal vez con la posible excepción de la geometría diferencial). Entonces, cuando se dice que una cantidad es tensorial, significa que la definición no es sensible a la elección de la base. La mejor manera de ilustrar esto dando un ejemplo de libro de texto de una cantidad que no sea un tensor: los símbolos de Christoffel.
Una palabra de precaución antes de continuar. Estrictamente hablando, cuando digo tensor (vector) de ahora en adelante, me referiré a un campo tensorial (vector) sobre alguna variedad. Esto no es un gran salto ya que los campos de tensor (vector) son solo tensores (vectores) con funciones de valor real sobre la variedad como escalares en lugar de solo números reales *.
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Digamos que seguimos adelante e intentamos interpretar los símbolos de Christoffel como un tensor [math] \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ \ lambda X_ \ lambda \ otimes \ omega ^ \ mu \ otimes \ omega ^ \ nu [/ math] donde [math] X _ {\ {\ sigma \}} [/ math] son vectores básicos y [math] \ omega ^ {\ {\ sigma \}} [/ math] forman su base dual. Usando la definición de los símbolos de Christoffel, tendríamos
[matemáticas] \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ \ lambda X_ \ lambda \ otimes \ omega ^ \ mu \ otimes \ omega ^ \ nu = \ nabla_ {X_ \ mu} X_ \ nu \ otimes \ omega ^ \ mu \ otimes \ omega ^ \ nu [/ math]
Ahora, si lo que tenemos aquí es realmente un tensor, no debería importar en qué base estoy trabajando. En otras palabras, si hay otra base (cebada) relacionada con la anterior a través de una transformación lineal invertible [matemática] T [/ math], de modo que [math] X ‘_ \ mu = T (X_ \ mu) = T_ \ mu ^ \ sigma X_ \ mu [/ math] y [math] \ omega’ ^ \ mu = (T ^ t) ^ {- 1} (\ omega ^ \ mu) = (T ^ {- 1}) ^ \ mu_ \ sigma \, \ omega ^ \ sigma [/ math], deberíamos tener la siguiente relación, que yo deberá etiquetar (1).
[matemáticas] \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ prime \ lambda} X ‘_ \ lambda \ otimes \ omega’ ^ \ mu \ otimes \ omega ‘^ \ nu = \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ \ lambda X_ \ lambda \ otimes \ omega ^ \ mu \ otimes \ omega ^ \ nu [/ math]
Sin embargo, dado que [math] T _ {\ nu} ^ {\ mu} [/ math] son funciones de valor real en la variedad, a diferencia de los números reales, tenemos
[matemáticas] \ nabla_ {X ‘_ \ mu} X’ _ \ nu \ otimes \ omega ‘^ \ mu \ otimes \ omega’ ^ \ nu = \ nabla_ {X_ \ mu} X_ \ nu \ otimes \ omega ^ \ mu \ otimes \ omega ^ \ nu [/ math]
[matemáticas] + \, (T ^ {- 1}) _ \ rho ^ \ nu X_ \ mu (T ^ \ sigma_ \ nu) X_ \ sigma \ otimes \ omega ^ \ mu \ otimes \ omega ^ \ rho [/ matemáticas]
donde [math] X_ \ mu (T ^ \ sigma_ \ nu) [/ math] denota la derivada direccional de la función de valor real [math] T ^ \ sigma_ \ nu [/ math] a lo largo del vector [math] X_ \ mu [/ math].
Por lo tanto, (1) no puede sostenerse debido a la presencia del último término y, en consecuencia, los símbolos de Christoffel no son tensoriales.
En cuanto a la pregunta sobre la corriente, hablemos en términos puramente no relativistas para facilitar la discusión. El hecho de que el tiempo se considere como otra dimensión siempre se puede trabajar más adelante. Entonces, si la carga está restringida a moverse a lo largo de una variedad de dimensiones [matemática] n [/ matemática], la corriente se define mejor como una forma [matemática] (n-1) [/ matemática] (una [matemática ] (n-1) [/ math] -form es un tensor covariante completamente antisimétrico formado a partir de [math] n-1 [/ math] copias del espacio dual). En otras palabras, es un mapa lineal completamente antisimétrico que lleva los vectores [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] a un número real. La idea es que los vectores [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] determinan un elemento de superficie que se encuentra en el múltiple dimensional [matemático] n [/ matemático] y la corriente toma todo eso y le da cuánta carga está cruzando ese elemento en unidad (adecuada) de tiempo. El hecho de que sea antisimétrico simplemente refleja el hecho de que si dos de los vectores [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] que se van a alimentar son iguales, el elemento de superficie colapsa y no fluye carga. En particular, una forma [matemática] 0 [/ matemática] es solo un escalar (no necesita un vector para devolver un número real), por lo que la corriente eléctrica para un cable (es decir, una dimensión [matemática] 1 [/ matemática] múltiple) es un escalar.
* En realidad, hay una gran advertencia aquí. Dado que las funciones de valor real que no son idénticamente cero pueden desaparecer en algún momento, las inversas no siempre existen para escalares ‘distintos de cero’. Por lo tanto, la estructura lineal que resulta es en realidad un módulo en lugar de un espacio vectorial, pero este es un problema que no afecta al argumento esbozado aquí y puede ignorarse en lo que respecta a la respuesta anterior.
