¿Por qué los valores son diferentes si multiplico un número irracional al numerador y al denominador al mismo tiempo?

Aquí hay una creencia errónea de que estás equiparando estas dos cosas.

Hay un error aproximado en la respuesta.

Irracional por definición significa que no puede expresarse como un número racional.

Puedes proponer una aproximación.

x = 1;
Tol = 0,0000001;
cuenta = 0;
dx = 1.5; % este es un valor falso para que el ciclo while se ejecute
f = 1; % porque f (-2) = – 13
fprintf (‘paso x dx f (x) \ n’)
fprintf (‘—- ———– ——— ———- \ n’)
fprintf (‘% 3i% 12.8f% 12.8f% 12.8f \ n’, cuenta, x, dx, f)
xVec = x; fVec = f;
while (dx> Tol || abs (f)> Tol)% tenga en cuenta que es necesario definir dx yf para que esta declaración continúe
cuenta = cuenta + 1;
fprime = 2 * x;
xnew = x – (f / fprime); % calcula el nuevo valor de x
dx = abs (x-xnuevo); % calcula cuánto x ha cambiado desde el último paso
x = xnuevo;
f = x ^ 2 -3; % calcula el nuevo valor de f (x)
fprintf (‘% 3i% 12.8f% 12.8f% 12.8f \ n’, cuenta, x, dx, f)
final
>> newton1
paso x dx f (x)
—- ———– ——— ———-
0 1.00000000 1.50000000 1.00000000
1 0.50000000 0.50000000 -2.75000000
2 3.25000000 2.75000000 7.56250000
3 2.08653846 1.16346154 1.35364275
4 1.76216324 0.32437522 0.10521928
5 1.73230809 0.02985515 0.00089133
6 1.73205083 0.00025727 0.00000007
7 1.73205081 0.00000002 0.00000000
>>

x =

1.732050807568877

y = 2 / x

y =

1.154700538379252

Hay otras formas de hacer esto, podría idear una serie de potencia y hacerlo analíticamente, pero esto se llama método newtons.

Creo que mi tolerancia es como 10 ^ -7

El punto es que los números irracionales continúan para siempre. Truncamos las aproximaciones debido a la cantidad finita de precisión que tenemos.

Su aproximación original solo es precisa al décimo lugar. Así que ahora solo estás haciendo manipulaciones algebraicas realmente.

Además, si tenemos [math] \ sqrt {3} = \ frac {256} {147} [/ math]

[matemáticas] \ frac {2 \ sqrt {3}} {\ sqrt {3} \ sqrt {3}} = \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} = \ frac {2 * 256} {147 * 3} = \ frac {512} {441} \ implica \ sqrt {3} = \ frac {3} {2} \ frac {512} {441} = \ frac {256} {147} [/ matemáticas]

Alexander Farrugia

Ya ha mostrado la prueba de los números irracionales.

Si quieres una manera de hacerlo fácilmente.

[matemáticas] \ sqrt {3} = 2 \ cos (\ frac {\ pi} {6}) [/ matemáticas]

La aproximación de Pade

http://mathfaculty.fullerton.edu …

x = pi / 6;
r = 15120 – 6900 * x ^ 2 + 313 * x ^ 4;
p = 15120 + 660 * x ^ 2 + 13 * x ^ 4;
pad = r / p;
pade1 = 2 * pad;
err = pade1-sqrt (3);
err = 1.175330499592064e-09

Tomar dos funciones racionales como la aproximación de otra cosa puede hacer que algo converja bastante rápido

Si comienza con [matemáticas] \ frac {2} {\ sqrt {3}} = \ frac {147} {128} [/ matemáticas], no está comenzando con algo que sea igual, sino con algo “lo suficientemente cerca. “Tal vez en sus comentarios pueda proporcionar más detalles sobre de dónde lo obtuvo o por qué cree que [math] \ frac {2} {\ sqrt {3}} [/ math] es igual a [math] \ frac {147} {128} [/ matemáticas].

Si estamos usando “lo suficientemente cerca” en lugar de “igual”, entonces el resto de sus cálculos son correctos y [math] \ frac {441} {256} [/ math] está “lo suficientemente cerca” de [math] \ frac {256 } {147} [/ matemáticas]. Esos dos números son lo suficientemente cercanos, ya que solo difieren en alrededor de 1.88%.

Aquí hay otra forma de ver esto: Si [matemáticas] \ frac {2} {\ sqrt {3}} = \ frac {147} {128} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ frac {\ sqrt {3} } {2} = \ frac {128} {147} [/ math], y si eso fuera cierto, entonces [math] \ sqrt {3} = \ frac {256} {147} [/ math] y si eso fuera cierto verdadero, entonces [matemáticas] 3 = \ frac {256 * 256} {147 * 147} = \ frac {65,536} {21,609} [/ matemáticas], y si eso fuera cierto, entonces [matemáticas] 3 * 21,609 = 65,536 [ /matemáticas]. Pero, ese no es el caso, ya que [matemáticas] 3 * 21.609 = 64.827 [/ matemáticas].

Como otros han mencionado, se ha demostrado que un número irracional no puede expresarse exactamente por un número racional, por lo que incluso sin calcularlo y descubrir que dos números que se supone que son iguales (65.536 frente a 64.827) no lo son, usted sabrá que la ecuación inicial no es correcta porque afirma que un número irracional es igual a un número racional.

Tu ecuación original tiene que ser falsa. Porque sabes que la raíz cuadrada de 3 es irracional. Eso significa que no se puede expresar como una relación de dos enteros. Por lo tanto, el recíproco no puede expresarse como una razón de dos enteros, y 2 veces eso tampoco puede expresarse como una razón de dos enteros. Por lo tanto, su proporción original no debe usar un signo igual. En el mejor de los casos, la fracción de la derecha es solo una aproximación. Básicamente, cualquier manipulación algebraica que realice, como muestra en líneas posteriores, también dará como resultado una aproximación.

Es posible que pueda explicar por qué la aproximación no cambiaría si multiplica la parte superior e inferior por un número entero o un decimal final. Pero, ¿qué sucede si multiplica por un irracional, que no termina ni se repite en su expresión decimal?

¿Cómo se te ocurre la idea de que [matemáticas] \ frac {2} {\ sqrt {3}} = \ frac {147} {128} [/ matemáticas]? [matemáticas] \ frac {147} {128} \ en \ Q [/ matemáticas] pero [matemáticas] \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ notin \ Q [/ matemáticas]!

Bueno, solo puedo suponer que cometiste algún tipo de error de redondeo, porque:

[matemática] \ frac {a} {b} = \ frac {ac} {bc} \ mid \ forall a, b, c \ in \ C \ land c \ ne 0 [/ math] esto se desprende de la distributiva, asociativa y naturaleza conmutativa de los números.

2 / √3 = 147/128 no es correcto porque 2 / √3 es un no irracional y no se puede representar exactamente en la forma de p / q donde p y q son números enteros donde 147/128 es una aproximación para 2 / √3 en forma racional.

Como lo anterior es una aproximación, cuanto más se multiplica o divide, más se aleja del resultado correcto porque cada multiplicación implica que el término de error se multiplica tantas veces.

Toda la equivalencia es falsa. [matemática] 2 / [/ matemática] [matemática] sqrt (3) [/ matemática] NO es igual a [matemática] 147/128 [/ matemática].

Empiezas con una declaración falsa para empezar. Un número irracional a la izquierda no puede ser igual a un número racional a la derecha. La igualdad es aproximada.

Al final obtienes otra igualdad aproximada. Es posible que haya perdido un poco de precisión en el camino.

Sin milagros.